$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Diviseurs de zéro - Anneau intègre

Considérons les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes : $$M=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad\quad N=\begin{pmatrix} 2&-4\\ -1&2 \end{pmatrix}.$$ Aucune de ces deux matrices n'est la matrice nulle, et pourtant leur produit vérifie : $$M\times N=\begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix}.$$ On dit que les matrices $M$ et $N$ sont des diviseurs de zéro.

Plus généralement, on a les définitions suivantes :

Définition : Soit $A$ un anneau.
  • Un élément $a$ non nul de $A$ est appelé un diviseur de zéro s'il existe un autre élément $b$ non nul de $A$ tel que $ab=0$.
  • Si $A$ est un anneau commutatif non réduit à $\{0\}$ et si $A$ ne possède pas de diviseur de zéro, alors on dit que $A$ est intègre.

Exemples :

  • $\mathbb Z$ est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul.
  • l'exemple précédent montre que $\mathcal M_2(\mathbb R)$ n'est pas un anneau intègre.
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