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Division suivant les puissances croissantes

  Il s'agit d'une forme de division autre que la classique division euclidienne : si A et B sont deux polynômes, le terme constant de B étant non nul, et si n est un entier strictement positif, alors il existe des polynômes Q et R (déterminés de manière unique) tels que :
  • A=BQ+xn+1R.
  • degré(Q) est inférieur ou égal à n.
On pose cette division un peu comme la classique division euclidienne, mais en écrivant les polynômes suivant les puissances croissantes, et en cherchant à éliminer d'abord les termes constants, puis les termes en X, etc...
Exemple : A=1+X, B=1-X, on trouve à l'ordre 2 : Q=1+2X+2X2 et R=2
La division suivant les puissances croissantes est par exemple utilisée pour obtenir les décompositions en éléments simples des fractions rationnelles.
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