$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Autour de la division euclidienne

Division euclidienne chez les entiers
  Prenez deux entiers naturels non nuls a et b. On sait alors qu'il existe deux autres entiers naturels q et r tels que :
  1. a=bq+r.
  2. r<b.
On dit alors qu'on a réalisé la division euclidienne de a par b; q est le quotient, et r le reste de cette opération.

Exemple : 23=4×5+3 : dans la division euclidienne de 23 par 4, 5 est le quotient et 3 le reste.

Division euclidienne chez les polynômes
  Il existe une opération analogue pour les polynômes à coefficients dans l'ensemble des nombres réels (en fait dans tout corps) : si A et B sont deux polynômes, B étant non nul, alors il existe deux autres polynômes Q et R tels que :
  1. A=BQ+R.
  2. R=0, ou alors degré(R)<degré(B).
Q s'appelle toujours le quotient, et R le reste. On peut poser une telle division euclidienne de la même façon que l'on effectue une division avec les entiers.

Exemple : A=x3+x2-2x+1, et B=x+3.
x3+x2-2x+1=(x+3)×(x2-2x+4)-11.

Vers les anneaux euclidiens....
  Les deux exemples précédents (entiers relatifs, polynômes) sont des ensembles où on a une arithmétique particulièrement puissante : pgcd, ppcm, etc.... On définit un type particulier d'anneau, qui ressemblent beaucoup à ceux-ci, car ils possèdent une division euclidienne :

Définition : Un anneau A est dit euclidien s'il est intègre, et s'il existe v:A-{0}->N vérifiant : pour tout a et b de A, avec b non nul, il existe q et r de A avec a=bq+r, et v(r)<v(b), ou bien r=0. v est alors appelé un stathme euclidien.

Exemple :Z, K[X] où K est un corps, sont des anneaux euclidiens. Dans le premier cas, le stathme usuel est la valeur absolue, dans le second, le degré. L'anneau des entiers de Gauss Z[i] est aussi un anneau euclidien. Remarquons que dans la définition d'un anneau euclidien, on ne réclame pas l'unicité du quotient q et du reste r...