Autour de la division euclidienne
Division euclidienne chez les entiersPrenez deux entiers naturels non nuls a et b. On sait alors qu'il existe deux autres entiers naturels q et r tels que :
- a=bq+r.
- r<b.
Il existe une opération analogue pour les polynômes à coefficients dans l'ensemble des nombres réels (en fait dans tout corps) : si A et B sont deux polynômes, B étant non nul, alors il existe deux autres polynômes Q et R tels que :
- A=BQ+R.
- R=0, ou alors degré(R)<degré(B).

Les deux exemples précédents (entiers relatifs, polynômes) sont des ensembles où on a une arithmétique particulièrement puissante : pgcd, ppcm, etc.... On définit un type particulier d'anneau, qui ressemblent beaucoup à ceux-ci, car ils possèdent une division euclidienne :
Définition : Un anneau A est dit euclidien s'il est intègre, et s'il existe v:A-{0}->N vérifiant : pour tout a et b de A, avec b non nul, il existe q et r de A avec a=bq+r, et v(r)<v(b), ou bien r=0. v est alors appelé un stathme euclidien. |