Divergence

Si $f$ est un champ de vecteurs, c'est-à-dire une fonction de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^3$, de classe $\mathcal C^1,$ la divergence de $f$ est définie par $$\textrm{div}(f)=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z}$$ où on a écrit $f=(f_1,f_2,f_3)$.

La divergence d'un champ de vecteurs est une quantité intrinsèque : elle peut se calculer, via un changement de variables, dans toute base orthonormée directe (le résultat est indépendant du choix de la base). Une extension d'un résultat de Poincaré assure que si $f$ est un champ de vecteurs défini sur un ouvert étoilé $U$ de $\mathbb R^3$ et de divergence nulle, alors $f$ dérive d'un potentiel vecteur, c'est-à-dire qu'il existe un champ de vecteurs $A$ sur $U$, de classe $\mathcal C^2,$ telle que $f=\textrm{rot}(A)$. Par exemple, les équations de Maxwell impliquent que le champ magnétique dérive d'un potentiel vecteur.