Une petite introduction aux distributions...

Analyse -- Intégration

  Les distributions sont un nouveau concept mathématique, généralisant la notion de fonctions, découvert par Laurent Schwartz en 1945. Nous allons essayer d'expliquer pourquoi les fonctions sont insuffisantes, et ce qu'est une distribution....

  Généralement, les phénomènes physiques sont représentés par des fonctions de plusieurs variables. Pourtant, cette représentation qui à chaque point associe une valeur a ses limites :
  • la température en un point n'a pas de sens, même si les équations de propagation de la chaleur donnent de bons résultats à l'échelle macroscopique.
  • la valeur ponctuelle d'une fonction n'est jamais accessible à l'aide d'appareils de mesure. Pour obtenir f(x0), la meilleure approximation est une moyenne , où g est à support compact, proche de x0, et a une intégrale proche de 1.
  Donc, quand on a une fonction f, il peut paraître assez naturel de considérer comme importantes les quantités correspondant aux diverses moyennes de f, c'est à dire les quantités , où g parcourt l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support compact.

  Mais alors, le concept même de fonctions apparaît comme insuffisant... En effet, si (fn) est une suite de fonctions positives, d'intégrales égales à 1, et dont le support est inclus dans des boules de plus en plus petites autour du point {0}, alors on a :
  Pourtant, il n'existe pas de fonction telle que, pour tout g indéfiniment dérivable à support compact, on ait : . On dira en fait que c'est la distribution de Dirac en 0, notée qui est telle que .

  En toute généralité, si U est un ouvert de Rn, on dit que u est une distribution dans l'ouvert U si c'est une forme linéaire sur l'espace des fonctions indéfiniment dérivables, qui vérifie la condition de continuité suivante : pour tout compact K de U, il existe un entier p et une constante C tels que, pour tout g indéfiniment dérivable à support inclus dans K, on ait :
  C'est un peu technique tout cela, mais les fonctions localement intégrables, et les masses de Dirac, fournissent de bons exemples de distribution classique...

Cette petite introduction doit beaucoup au polycopié de Jean-Marie Bony Distributions et Transformation de Fourier.

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