Sous-groupe distingué et groupe quotient
Définition :
- Un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ est distingué ou normal si, pour tout $g$ de $G$ et tout $h$ de $H$, l'élément $ghg^{-1}$ appartient à $H$.
- Un groupe non trivial est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont $\{1\}$ et $G$.
Exemples :
- $\{1\}$, $G$, le centre du groupe, le sous-groupe dérivé d'un groupe sont des sous-groupes distingués.
- Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué.
- $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est simple si et seulement si $p$ est premier.
- Pour $n=3$ ou $n\geq 5$, le groupe alterné $A_n$ est simple.
- $SO_n(\mathbb R)$ est simple pour $n\geq 3$ impair.
- Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes cycliques dont l'ordre est un nombre premier.
- Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué.
Les sous-groupes distingués sont particulièrement importants, car ils permettent de définir les groupes quotient $G/H$. Si $H$ est un sous-groupe de $G$, on définit une relation d'équivalence sur $G$ par $x\mathcal R y$ si, et seulement si, $xy^{-1}\in H$. On note $G/H$ l'ensemble des classes d'équivalence. On cherche à munir $G/H$ d'une structure de groupe héritée de celle de $G,$ c'est-à-dire en posant : $$\bar x\times \bar y=\overline{x\times y}.$$ Ceci définit une structure de groupe sur $G/H$ si, et seulement si, $H$ est distingué. On dit alors que $G/H$ est le groupe quotient de $G$ par $H$.
L'intérêt des sous-groupes distingués est de permettre le "dévissage" des groupes. On peut essayer de ramener l'étude de $G$ à celle de $H$ et de $G/H,$
qui sont plus petits. Ceci explique aussi l'intérêt porté aux groupes simples finis qui,
eux, sont indévissables. Leur classification a été achevée en 1981.
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