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Sous-groupe distingué et groupe quotient

Définition :
  • Un sous-groupe H d'un groupe G est distingué ou normal si, pour tout g de G et tout h de H, l'élément ghg-1 appartient à H.
  • Un groupe est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont {1} et G.
Exemple :
  • {1},G, le centre du groupe sont des sous-groupes distingués.
  • Le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué.
  • Z/pZ est simple si p est premier.
  • Pour n5, le groupe alterné An est simple.
  Les sous-groupes distingués sont particulièrement importants, car ils permettent de définir les groupes quotient G/H. Si H est un sous-groupe de G, on définit une relation d'équivalence sur G par xRy si, et seulement si, xy-1H. On note G/H l'ensemble des classes d'équivalence. On cherche à munir G/H d'une structure de groupe héritée de celle de G, c'est-à-dire en posant :
Ceci définit une structure de groupe sur G/H si, et seulement si, H est distingué. On dit alors que G/H est le groupe quotient de G par H.

L'intérêt des sous-groupes distingués est de permettre le "dévissage" des groupes. On peut essayer de ramener l'étude de G à celle de H et de G/H, qui sont plus petits. Ceci explique aussi l'intérêt porté aux groupes simples finis qui, eux, sont indévissables. Leur classification a été achevée en 1981.
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