$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Distance

  On considère un ensemble E. On appelle distance sur E une application d:E->R+ vérifiant les 3 propriétés suivantes :

  1. d(x,y)=d(y,x), quels que soient x et y. (on dit que la distance est symétrique)
  2. d(x,y)=0 si et seulement si x=y
  3. d(x,y) d(x,z)+d(z,y), quels que soient x,y et z. (c'est l'inégalité triangulaire)

(E,d) s'appelle alors un espace métrique.

Exemples :

  • Sur R, l'application qui à deux nombres (x,y) associe la valeur absolue de leur différence est une distance.
  • Sur R2, nous allons définir 3 distances que l'on utilise de façon usuelle. Nous noterons M1=(x1,y1) et M2=(x2,y2).
    1. La distance dite de la norme 1, définie par : d2(M1,M2)=|x1-x2|+|y1-y2| . C'est en quelque sorte la généralisation la plus immédiate de la valeur absolue sur R.
    2. La distance euclidienne : d2(M1,M2)=. C'est la distance usuelle que l'on utilise dans le plan.
    3. La distance dite de la norme sup : d3(M1,M2)=sup (|x1-x2|,|y1-y2|).

  Pour une interprétation géométrique de ces distances, on pourra se reporter à l'article sur la sphère. Les distances définies ci-dessus sont assez particulières, au sens qu'elles sont définies sur des espaces vectoriels et proviennent en fait de normes. En voici une qui n'est pas ainsi :

  • Sur R, on définit d(x,y)=arctan|x-y|. On vérifie sans problème les 3 axiomes, mais l'intérêt de cette distance vient du fait qu'on peut continuer à la définir, moyennant un passage à la limite, sur R muni des 2 points moins l'infini et plus l'infini. Ceci permet de définir de façon métrique la topologie de la droite réelle achevée.
Distance d'un point à un ensemble - Distance de deux ensembles

  Soit (E,d) un espace métrique. Si x est un point de E, et A est une partie de E, alors la distance de x à A est la borne inférieure des distances de x à y lorsque y appartient à x.
Exemple : Si A=[0,1[, et x=2, d(x,A)=1.

On peut avoir d(x,A)=0 sans que x ne soit élément de A. C'est par exemple le cas si E=R, muni de la distance donnée par la valeur absolue, si x=1, et si A=[0,1[. En fait, on a l'équivalence : d(x,A)=0 ssi x appartient à l'adhérence de A.

  Si maintenant A et B sont deux parties de E, la distance de A à B est la borne inférieure des distances de x à y, où x décrit A, et y décrit B.

Exemple : Pour A=[0,1[ et B=[2,9], d(A,B)=1.