Discriminant d'une forme bilinéaire symétrique

Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique sur l'espace vectoriel $E$ (de dimension finie). Soit $\mathcal B$ une base de $E$. On appelle discriminant de $f$ dans la base $\mathcal B$ le déterminant de la matrice de $f$ dans $\mathcal B$.

Si $\mathcal B'$ est une autre base de $E$, si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$, et si $M$ et $M'$ sont les matrices respectives de $f$ dans $\mathcal B$ et $\mathcal B'$, alors on sait que $M'=P^TMP$. En particulier, on a $$\textrm{disc}(f,\mathcal B')=\textrm{disc}(f,\mathcal B)\times (\det P)^2.$$ Ainsi, si $E$ est un $\mathbb R$-espace vectoriel, le signe du discriminant d'une forme bilinéaire symétrique sur $E$ ne dépend pas de la base choisie.

Plus généralement, pour rendre le discriminant indépendant de la base, le discriminant d'une forme quadratique non dégénérée peut aussi être défini comme l'image de son déterminant (dans n'importe quelle base) dans le groupe abélien $\mathbb K^*/(\mathbb K^*)^2$ (cette image ne dépend pas de la base choisie). Si la forme quadratique est dégénérée, on convient que son discriminant est nul.