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Théorème de Dirichlet et de Jordan-Dirichlet

  Le théorème de Dirichlet est une condition suffisante qui assure la convergence de la série de Fourier de f vers f.
Théorème : Soit $f$ une fonction continue, $C^1$ par morceaux, $2\pi$-périodique. Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement vers $f$.
  Il existe de nombreux raffinements du théorème de Dirichlet, en affaiblissant les hypothèses, mais aussi en affaiblissant le résultat. Une des variantes la plus célèbre est le théorème de Jordan-Dirichlet, où on ne suppose pas que $f$ est continue :
Théorème : Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux, $2pi$-périodique. Alors en tout réel $x$, la série de Fourier de $f$ converge vers $$\frac{f(x+0)+f(x-0)}2.$$
Ici, la notation $f(x+0)$ désigne simplement la limite à droite de $f$ en $x$, et $f(x-0)$ désigne la limite à gauche de $f$ en $x$.

Les hypothèses données ici pour le théorème de Jordan-Dirichlet sont loin d'être les meilleures possibles. Il suffit en réalité d'avoir des informations uniquement autour de $x$, par exemple que $f$ admet des limites à droite et à gauche en $x$ et qu'on peut trouver $\alpha>0$ tel que les intégrales $$\int_0^\alpha \frac{|f(x+t)-f(x+0)|}t dt\textrm{ et }\int_0^\alpha \frac{|f(x-t)-f(x-0)|}t dt$$ convergent. Toutefois, on ne peut pas supposer simplement que $f$ est continue en $x$. Du Bois-Reymond a en effet donné l'exemple d'une fonction $2\pi$-périodique, continue en 0, et dont la série de Fourier diverge en 0.
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