Théorèmes de Dini

Les théorèmes de Dini sont des théorèmes puissants pour prouver la convergence uniforme d'une suite de fonctions quand on ne connait que sa convergence simple.

Dans le premier point du théorème, on peut remplacer $I$ par un espace compact, et suite croissante par suite monotone, mais il faut prendre garde que l'on suppose que chaque $f_n$ est continue, ce qui n'est pas le cas dans le second point.

Application 1 : Soit $a>0$. On considère la suite de fonctions $(f_n)$ définie par $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$ pour tout $x\in [-a,a]$. Alors il est facile de vérifier que $(f_n)$ converge simplement vers $\exp$ sur $[-a,a]$. De plus, puisque $f_n'(x)=\left(1+\frac xn\right)^{n-1}\geq 0$ sur $[-a,a]$ dès que $n$ est assez grand, les fonctions $(f_n)$ sont croissantes. Donc $(f_n)$ converge uniformément vers $\exp$ sur $[-a,a]$.

Application 2 : Soit $(P_n)$ la suite de fonctions polynomiales définies sur $[0,1]$ par $P_0(t)=0$ pour tout $t\in[0,1]$ et pour $n\in\mathbb N$ et $t\in[0,1]$, $$P_{n+1}(t)=P_n(t)+\frac12(t-P_n^2(t)).$$ On démontre facilement par récurrence que $0\leq P_n(t)\leq \sqrt t$ pour tout $t\in[0,1]$. On en déduit que la suite $(P_n)$ est une suite croissante de fonctions. Comme chaque suite $(P_n(t))$ est majorée par $\sqrt t$, cette suite est convergente et en passant à la limite dans la formule de récurrence, on démontre que sa limite est $\sqrt t$. Ainsi, la suite $(P_n)$ converge simplement vers $\sqrt t$ sur $[0,1]$. Comme c'est une suite croissante, la convergence est en fait uniforme sur $[0,1]$.