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Dimension topologique

Définition : Un espace métrique compact (X,d) est dit de dimension topologique (ou dimension de recouvrement) inférieure ou égale à n si pour tout réel r>0, X admet un recouvrement ouvert fini Ui tel que :
  1. diam(Ui)<r pour tout i.
  2. tout x de X appartient à (n+1) des Ui au plus.
X est dit de dimension topologique exactement égale à n s'il est de dimension inférieure ou égale à n, mais pas de dimension inférieure ou égale à n-1.

Exemples :
  • L'intervalle [0,1] est de dimension 1. En effet, pour tout r positif, on peut choisir N tel que 2/N<r. Les ouverts Ui=](i-1)/N;(i+1)/N[ pour i=0,...,N recouvrent X et se coupent au plus deux à deux. Donc dim([0,1])<=1. La dimension de [0,1] n'est pas nulle car [0,1] est connexe et non réduit à un point.
  • Plus généralement, la boule unité d'un espace vectoriel normé de dimension algébrique n est de dimension topologique n...
  • L'ensembre de Cantor est de dimension zéro. Pour tout r>0, on peut le recouvrir par des ouverts Ui de diamètre <r et deux à deux disjoints.
Une définition proposée par Benoit Manderbrojt d'objet fractal était : un objet fractal est un espace métrique compact dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff. Cette définition ne satisfait pas les experts aujourd'hui car elle laisse échapper des objets qu'on aimerait qualifier de "fractal".
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