$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dimension de Hausdorff-Besicovitch

  Soit (X,d) un espace métrique séparable, E une partie de X et s>0. On appelle s-mesure de Hausdorff de E le réel
, les Bi étant des boules fermées de diamètre inférieur ou égal à .

   donne une idée de la taille de E à l'échelle avec une analyse fine de la dispersion locale : un point isolé peut être recouvert par une boule de rayon arbitrairement petit et compte donc pour 0.

  Hs(E) vérifie les propriétés suivantes : si 0<s<t, alors
Ces propriétés justifient la définition suivante:

Définition : On appelle dimension de Hausdorff-Besicovitch de E, noté dimH(E), la quantité

  Bien sûr, la dimension de Hausdorff a une définition assez délicate, et il est parfois difficile de la calculer. Toutefois, il y a un cas particulier intéressant, celui des compacts auto-similaires. On dit que K est auto-similaire s'il existe des similitudes s1,...,sN de Rn, avec N>1, de rapport r1,...,rN de rapport inférieur strict à 1, tels que
La dimension d'auto-similarité de K est alors l'unique réel s tel que
Si K vérifie en outre la condition technique suivante :
Il existe un ouvert borné non vide O tel que pour tout i et si i est différent de j
alors la dimension de Hausdorff de K est égale à sa dimension d'auto-similarité. Ceci permet de calculer la dimension de Hausdorff de nombreux objets fractals.

Une définition proposée par Benoit Manderbrojt d'objet fractal était : un objet fractal est un espace métrique compact dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff. Cette définition ne satisfait pas les experts aujourd'hui car elle laisse échapper des objets qu'on aimerait qualifier de "fractal".
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