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Dimension et rang en algèbre linéaire

  Soit $E$ un espace vectoriel qui possède une famille génératrice finie. Alors cet espace possède une base. On peut prouver que toutes les bases de $E$ possèdent le même nombre d'éléments. Ce nombre d'éléments est appelé dimension de $E$, et on dit aussi que $E$ est de dimension finie.

  La théorie de la dimension est très importante en algèbre linéaire, car elle facilite de nombreuses démonstrations. Par exemple, si $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, qui est de dimension finie, et si $F$ est inclus dans $G$, alors $F=G$ si, et seulement si, $F$ et $G$ ont même dimension.

Théorème des 4 dimensions (formule de Grassmann): Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, alors : $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$
  Une notion intimement reliée à la dimension est la notion de rang. On appelle rang :
  • d'une famille de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$ la dimension de l'espace vectoriel engendré par les combinaisons linéaires de ces vecteurs.
  • d'une application linéaire $f$ la dimension de l'espace vectoriel $\textrm{Im}(f)$.
  • d'une matrice le rang de l'application linéaire associée. C'est aussi le rang des vecteurs colonnes ou des vecteurs lignes de la matrice.
Le théorème le plus classique concernant le rang est le :
Théorème du rang : Si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie, si $f:E\to F$ est une application linéaire, alors : $$\dim(E)=\textrm{rg}(f)+\dim(\ker( f))=\dim(\textrm{Im}(f))+\dim(\ker(f)).$$