Dimension et rang en algèbre linéaire
Soit $E$ un espace vectoriel qui possède une famille génératrice finie. Alors cet espace possède une base finie. On peut prouver que toutes les bases de $E$ possèdent le même nombre d'éléments. Ce nombre d'éléments est appelé dimension de $E$, et on dit aussi que $E$ est de dimension finie. Un espace vectoriel est dit de dimension infinie s'il ne possède pas de famille génératrice finie.
Exemples :
- $\mathbb R^n$ est de dimension $n$.
- $\mathbb R_n[X]$ est de dimension $n+1$.
- $\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ est de dimension $n\times p.$
- si $E$ et $F$ sont de dimension respective $n$ et $p$, $E\times F$ est de dimension $n+p$.
- si $E$ et $F$ sont de dimension respective $n$ et $p$, alors $\mathcal L(E,F)$ est de dimension $n\times p.$
La théorie de la dimension est très importante en algèbre linéaire, car elle facilite de nombreuses démonstrations. Par exemple, si $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, qui est de dimension finie, et si $F$ est inclus dans $G$, alors $F=G$ si, et seulement si, $F$ et $G$ ont même dimension.
Une notion intimement reliée à la dimension est la notion de rang. On appelle rang :
- d'une famille de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$ la dimension de l'espace vectoriel engendré par les combinaisons linéaires de ces vecteurs.
- d'une application linéaire $f$ la dimension de l'espace vectoriel $\textrm{Im}(f)$.
- d'une matrice le rang de l'application linéaire associée. C'est aussi le rang des vecteurs colonnes ou des vecteurs lignes de la matrice.
Le théorème le plus classique concernant le rang est le :