$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction différentiable

Définition
  La notion de fonction différentiable est la généralisation aux fonctions de plusieurs variables de la notion de fonction dérivable d'une variable réelle. Bien sûr, on ne peut pas transposer directement la définition utilisant le taux d'accroissement (impossible de diviser par un vecteur!). C'est la caractérisation de la dérivabilité en terme d'existence de développement limité d'ordre 1 qui se généralise directement en dimension quelconque.

Définition :
  • Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans Rp et soit a un point de U. On dit que f est différentiable en a s'il existe une application linéaire l de Rn dans Rp telle que
    L'application l, si elle existe, est unique et s'appelle différentielle de f en a, ou application linéaire tangente de f en a. On la note dfa.
  • On dit que f est continuement différentiable sur U, ou de classe C1, si f est différentiable en tout point de U et si l'application qui à a associe dfa est continue.

  Si n=p=1, une application linéaire de R dans R est simplement une homothétie et il existe donc un réel c tel que l(h)=ch. Ainsi f est différentiable en a si et seulement si il existe un réel c tel que
On reconnait la caractérisation d'une fonction dérivable avec c=f'(a). Ainsi, dans ce cas, f est dérivable si et seulement si f est différentiable.

Propriétés algébriques
  • combinaison linéaire : si f et g sont différentiables en a, alors est différentiable en a et
  • composition : si f est différentiable en a et g est différentiable en f(a), alors est différentiable en a et
  • inversion : on pourra se reporter à l'article sur le théorème d'inversion locale pour avoir un énoncé précis.
Différentiabilité et dérivées partielles
  Une autre idée naturelle pour généraliser la notion de dérivabilité est celle de dérivée partielle ou même de dérivée suivant un vecteur. Elle est inefficace car il existe des fonctions admettant des dérivées partielles en un point qui ne sont même pas continues en ce point. En revanche, on a le résultat suivant:

Théorème :
  • Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp. Si toutes les dérivées partielles de f existent sur U et si elles sont continues en un point a de U, alors f est différentiable en a et on a
  • f est de classe C1 sur U si et seulement si les dérivées partielles de f sur U existent et sont continues.
Le sens direct est toujours vrai : si f est différentiable en a, f admet des dérivées partielles en a et

Différentiabilité et dérivées partielles
  • application linéaire : si f est une application linéaire, elle est différentiable et df=f.
  • application bilinéaire : si f est une application bilinéaire de Rn×R p dans Rq, elle est différentiable en tout point a=(a1,a2) et sa différentielle est donnée par
    dfa(h1,h2)=f(h1,a2)+f(a1,h2).
  • inverse d'une matrice : soit f définie sur GLn(R) par MM-1. Alors f est différentiable et
    dfM(H)=-M-1HM-1.
  • déterminant : le déterminant est différentiable sur Mn(R) et
    d(det)M(H)=Tr(tcomat(M)H).
  • exponentielle : l'exponentielle est différentiable sur Mn(R) et on a :
    d(exp)0(H)=H.
    Plus généralement, on a :