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Inégalité isopérimétrique et problème de Didon

Si on dispose d'une corde de longueur fixée $\ell,$ quelle est la plus grande surface que l'on peut entourer avec cette corde. On peut par exemple disposer la corde pour qu'elle forme un carré de côté $\ell/4.$ L'aire de la surface entourée est alors $\ell^2/16.$ Mais il est plus malin de disposer la corde le long d'un cercle. Le rayon de ce cercle est alors $\ell/2\pi,$ et l'aire du disque correspondant est $\ell^2/4\pi.$ Puisque $16>4\pi,$ on a bien entouré une surface dont l'aire est supérieure.

L'inégalité isopérimétique nous dit que l'on ne peut pas faire mieux que le cercle : si une courbe suffisamment régulière de longueur $\ell$ enferme une surface d'aire $A$, alors $\ell^2\geq 4\pi A,$ et seul le cercle vérifie cette inégalité. Précisément, on a l'énoncé suivant :

Théorème : Soit $[a,b]$ un segment et $\gamma:[a,b]\to\mathbb R^2$ une courbe de Jordan de classe $\mathcal C^1$ par morceaux, de longueur $\ell$ et enfermant une surface d'aire $A$. Alors $\ell^2\geq 4\pi A,$ et $\ell^2=4\pi A$ si et seulement si $\gamma$ définit un cercle parcouru une seule fois.

On peut se poser un problème analogue dans l'espace. Parmi les objets de surface $S,$ quelle est la valeur maximale de leur volume $V$ et quand est-elle atteinte? On peut démontrer qu'on a toujours $36\pi V^2\leq S^3,$ et que l'égalité est réalisée uniquement par les sphères.

On dit que la solution de l'inégalité isopérimétrique était connue de la reine Didon de Carthage. En débarquant sur la côte nord-africaine, on lui aurait donné le droit de s'approprier la partie de terrain de bord de mer qu'elle réussirait à entourer avec une peau de boeuf. Ici, la contrainte sur la courbe est qu'elle contient un segment. La courbe optimale est alors un demi-cercle. En découpant en très fines lanières la peau de boeuf, Didon aurait formé un demi-cercle le long de la côte à l'intérieur duquel elle aurait fondé l'état de Carthage.

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