Inégalité isopérimétrique et problème de Didon
Si on dispose d'une corde de longueur fixée $\ell,$ quelle est la plus grande surface que l'on peut entourer avec cette corde. On peut par exemple disposer la corde pour qu'elle forme un carré de côté $\ell/4.$ L'aire de la surface entourée est alors $\ell^2/16.$ Mais il est plus malin de disposer la corde le long d'un cercle. Le rayon de ce cercle est alors $\ell/2\pi,$ et l'aire du disque correspondant est $\ell^2/4\pi.$ Puisque $16>4\pi,$ on a bien entouré une surface dont l'aire est supérieure.
L'inégalité isopérimétique nous dit que l'on ne peut pas faire mieux que le cercle : si une courbe suffisamment régulière de longueur $\ell$ enferme une surface d'aire $A$, alors $\ell^2\geq 4\pi A,$ et seul le cercle vérifie cette inégalité. Précisément, on a l'énoncé suivant :
On peut se poser un problème analogue dans l'espace. Parmi les objets de surface $S,$ quelle est la valeur maximale de leur volume $V$ et quand est-elle atteinte? On peut démontrer qu'on a toujours $36\pi V^2\leq S^3,$ et que l'égalité est réalisée uniquement par les sphères.