$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité isopérimétrique, et une reine de Carthage

  Quelle est la courbe, de périmètre donné, qui enferme une surface d'aire maximale??? La réponse est un cercle! Si une partie de la frontière doit suivre un segment de longueur arbitraire (c'est le cas par exemple pour une côte ou pour un fleuve), alors la réponse est un demi-cercle. On dit que la solution était connue de la reine Dido de Carthage, qui avec une peau de vache, découpée en très fines lanières, aurait formé un demi-cercle le long de côtes nord-africaine. A l'intérieur de ce demi-cercle, elle aurait fondé l'état de Carthage.

  Plus savamment, ce problème de Dido porte aussi le nom d'inégalité isopérimétrique. Si une courbe "suffisamment régulière" de longueur L enferme une surface S, alors :. On a égalité si, et seulement si, on a un cercle.

Exemple :
  • Pour un cercle, le rapport L2/S vaut donc 4pi, soit environ 12,56....
  • Pour un cercle de côté c, on a L=4c, et S=c2. L2/S vaut 16. C'est moins bien!