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Bibm@th

Endomorphisme (ou matrice) diagonalisable

La théorie
  E est un K-espace vectoriel de dimension finie.
Définition : Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u. Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

  On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables.
Théorème : Soit u un endomorphisme de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • u est diagonalisable.
  • E est somme directe des sous-espaces propres de u.
  • Le polynôme caractéristique Pu de u est scindé sur K, et si a est une racine de Pu, alors sa multiplicité en tant que racine de Pu vaut la dimension du sous-espace propre correspondant.
  • Il existe P de K[X] scindé à racines simples tel que P(u)=0.

La pratique
  Soit A une matrice que l'on cherche à diagonaliser. On procède en plusieurs étapes.
  • On calcule le polynôme caractéristique de A, PA(X)=det(A-XId).
  • On factorise ce polynôme afin trouver les valeurs propres a1,...,ap.
  • Pour chaque valeur propre ai, on trouve une base du sous-espace propre correspondant en résolvant l'équation AX=aiX.
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