Dérivée suivant un vecteur

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

  Soit f une application définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp, soit a un point de U et soit h un vecteur de Rn non nul. On dit que f admet une dérivée en a suivant le vecteur h si la fonction d'une variable réelle g(t)=f(a+th) est dérivable en 0. g'(0) est alors appelé dérivée de f en a suivant h. De façon équivalente, cela signifie que le quotient
admet une limite quand t tend vers 0.

  La dérivée suivant un vecteur est une tentative pour généraliser la notion de fonction dérivable aux fonctions de plusieurs variables. Malheureusement, elle n'est pas satisfaisante car il existe des fonctions admettant en a des dérivées suivant tout vecteur, mais qui ne sont pas continues. Considérons par exemple la fonction f définie sur R2 par
Alors, pour h=(a,b), on a (f(th)-f(0))/t=b2/a si a est non nul, (f(th)-f(0))/t=0 sinon. f admet donc bien une dérivée suivant h. Mais f(1/n2,1/n)=1 ne tend pas vers 0, ce qui prouve que f n'est pas continue en (0,0).
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