$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Dérivée partielle

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ (donc une fonction en $n$ variables) à valeurs dans $\mathbb R^m,$ et $a=(a_1,\dots,a_n)$ un élément de $U$. On noté $f_k$ l'application définie au voisinage de $a_k$ par $f_k(x)=f(a_1,\dots,a_{k-1},x,a_{k+1},\dots,a_n)$. Si $f_k$ est dérivable en $a_k$, le nombre $f_k'(a_k)$ se nomme la dérivée partielle de $f$ en $a$, et se note $\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$.

Exemple : On considère la fonction $f(x,y,z)=xy^2+y^3+xz$. Alors la dérivée partielle par rapport à $y$ vaut $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2xy+3y^2$$ (on dérive tout par rapport à $y$ en faisant comme si les autres variables étaient des constantes).

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