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Dérivée faible

La notion de dérivée faible est une extension de la notion de dérivée usuelle pour des fonctions qui ne sont pas forcément dérivables, mais pour lesquelles on peut tout de même réaliser une sorte d'intégration par parties. C'est un concept très utile dans la résolution des équations aux dérivées partielles.

Définition : Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et soit $v$ localement intégrable sur $\Omega$. On dit que $v$ est dérivable au sens faible s'il existe des fonctions $w_i$ localement intégrables sur $\Omega$, pour $i\in\{1,...,n\}$ telles que, pour toute fonction $\phi\in\mathcal C^\infty_c(\Omega)$, on a $$\int_{\Omega}v(x)\frac{\partial \phi}{\partial x_i}(x)dx=-\int_{\Omega}w_i(x)\phi(x)dx.$$

Si $v$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable, alors elle est également dérivable au sens faible par rapport à cette $i$-ème variable, et la dérivée au sens faible (qui est toujours unique) coïncide avec la dérivée au sens fort. En revanche, il existe des fonctions dérivables au sens faible qui ne sont pas dérivables au sens fort.

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