$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Partie dense

  Soit E un espace vectoriel normé et D une partie de E. On dit que D est dense dans E si l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée :
  • pour point $x\in E$, il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $D$ qui converge vers $x$.
  • pour tout $x$ de $E$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $y\in D$ avec $\|y-x\|\leq \varepsilon.$
  • l'adhérence $\bar D$ de $D$ est égale à $E$.
Ces définitions peuvent être généralisées au cas des espaces métriques (en remplaçant la norme par la distance), et la dernière peut même l'être aux espaces topologiques généraux.

Exemples :
  • l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$.
  • l'ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb R)$ est dense dans l'espaces des matrices $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
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