Ensemble dénombrable

Fondements -- Théorie des ensembles
Dénombrements et probabilités -- Dénombrement


  Un ensemble est dit dénombrable s'il est équipotent à (en bijection avec) l'ensemble des entiers N.

Exemple : L'ensemble des nombres rationnels Q est dénombrable. Comme il s'injecte dans N×Z, il suffit de montrer que ce dernier ensemble est dénombrable, ou Z étant dénombrable, de montrer que N×N est dénombrable. On écrit les élements en tableau que l'on compte en diagonale :

   4

 1

 1

 3

 6

.. 

 2

2

 5

 9

 3

 4

 8

 4

 7

Plus généralement, un produit fini d'espaces dénombrables est dénombrable, une réunion finie ou dénombrables d'espaces finis ou dénombrables est fini ou dénombrable.

Contre exemple : R n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment [0,1[ ne l'est pas. On suppose qu'il l'est et que [0,1[=(xn). On écrit chaque xn en écriture décimale propre : xn=0,a(n,1)a(n,2)...a(n,k).... Soit pour tout n an tel que an soit différent de a(n,n) et de an-1, et soit le nombre x=a1...an... Alors x est bien dans [0,1[, et il est différent de tous les xn : contradiction.
On peut aussi démontrer ceci en utilisant le théorème des segments emboîtés : soit (xn) une suite énumérant [0,1]. On écrit [0,1] comme réunion de [0,1/3], [1/3,2/3] et [2/3,1]. Il existe un de ces 3 segments qui ne contient pas x1. On suppose maintenant avoir construits I1,...,In tels que pour tout k, xk n'appartient pas à Ik, Ik+1 étant un segment de longueur le tiers de Ik, est inclu dans Ik. En généralisant de façon évidente ce qui a été fait précédemment, on construit In+1 vérifiant les propriétés voulues.
En appliquant le théorème des segments emboîtés, il existe un élément l appartenant à l'intersection de tous les In. En particulier, l est élément de [0,1] et il existe k tel l=xk. Mais ceci contredit que l n'appartient pas à Ik.

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