Un ensemble est dit dénombrable s'il est équipotent à (en bijection avec) l'ensemble des entiers N.

Exemple : L'ensemble des nombres rationnels Q est dénombrable. Comme il s'injecte dans N×Z, il suffit de montrer que ce dernier ensemble est dénombrable, ou Z étant dénombrable, de montrer que N×N est dénombrable. On écrit les élements en tableau que l'on compte en diagonale :

Plus généralement, un produit fini d'espaces dénombrables est dénombrable, une réunion finie ou dénombrables d'espaces finis ou dénombrables est fini ou dénombrable.

Contre exemple : R n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment [0,1[ ne l'est pas. On suppose qu'il l'est et que [0,1[=(x_n). On écrit chaque x_n en écriture décimale propre : x_n=0,a_(n,1)a_(n,2)...a_(n,k).... Soit pour tout n a_n tel que a_n soit différent de a_(n,n) et de a_n-1, et soit le nombre x=a₁...a_n... Alors x est bien dans [0,1[, et il est différent de tous les x_n : contradiction.
On peut aussi démontrer ceci en utilisant le théorème des segments emboîtés : soit (x_n) une suite énumérant [0,1]. On écrit [0,1] comme réunion de [0,1/3], [1/3,2/3] et [2/3,1]. Il existe un de ces 3 segments qui ne contient pas x₁. On suppose maintenant avoir construits I₁,...,I_n tels que pour tout k, x_k n'appartient pas à I_k, I_k+1 étant un segment de longueur le tiers de I_k, est inclu dans I_k. En généralisant de façon évidente ce qui a été fait précédemment, on construit I_n+1 vérifiant les propriétés voulues.
En appliquant le théorème des segments emboîtés, il existe un élément l appartenant à l'intersection de tous les I_n. En particulier, l est élément de [0,1] et il existe k tel l=x_k. Mais ceci contredit que l n'appartient pas à I_k.