Demi-tangente

Soit $I$ un intervalle ouvert, et $x_0\in I$. On dit que $f$ admet une dérivée à droite en $x_0$ si le taux d'accroissement $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$ par valeur supérieure (en restant plus grand que $x_0$). Cette limite est alors notée $f'_d(x_0).$

De même, on dit que f admet une dérivée à gauche en $x_0$ si le même taux d'accroissement admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$ par valeurs inférieures (en restant plus petit que $x_0$). On note $f'_g(x_0)$ la dérivée à gauche. La fonction $f$ est alors dérivable en $x_0$ si et seulement si elle admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche en $x_0$, et si $f'_d(x_0)=f'_g(x_0).$

Si $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $x_0$, on dit que la courbe représentative de $f$ admet une demi-tangente (à droite ou à gauche) au point $(x_0,f(x_0)).$ Il s'agit pour la dérivée à droite de la demi-droite d'équation $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, pour $x\geq x_0.$ (on a la même équation pour la demi-tangente à gauche, mais on se restreint à $x\leq x_0$).