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Décomposition LU
Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on appelle décomposition LU
de $A$ toute écriture de $A$ sous la forme $A=LU$, où $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice
triangulaire supérieure. On a les propriétés suivantes :
- Si $A$ admet une décomposition LU, alors celle-ci est unique.
- $A$ admet une décomposition LU si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (rappelons
que le mineur principal d'ordre $k$ de $A$ désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$
en extrayant les $k$ premières lignes et colonnes).
- Si A est simplement supposée inversible, alors $A$ peut s'écrire $A=PLU$, où $P$ est une matrice de permutation.
Obtenir une décomposition LU d'une matrice $A$ est important lorsqu'on souhaite résoudre plusieurs fois
à la suite des systèmes linéaires du type $Y=AX$. Il suffit alors en effet de résoudre deux systèmes triangulaires.
L signifie "Lower", et U signifie Upper.
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