$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@th
Décomposition LU
Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on appelle décomposition LU
de $A$ toute écriture de $A$ sous la forme $A=LU$, où $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice
triangulaire supérieure. On a les propriétés suivantes :
- Si $A$ admet une décomposition LU, alors celle-ci est unique.
- $A$ admet une décomposition LU si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (rappelons
que le mineur principal d'ordre $k$ de $A$ désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$
en extrayant les $k$ premières lignes et colonnes).
- Si A est simplement supposée inversible, alors $A$ peut s'écrire $A=PLU$, où $P$ est une matrice de permutation.
Obtenir une décomposition LU d'une matrice $A$ est important lorsqu'on souhaite résoudre plusieurs fois
à la suite des systèmes linéaires du type $Y=AX$. Il suffit alors en effet de résoudre deux systèmes triangulaires.
L signifie "Lower", et U signifie Upper.
Consulter aussi...
