$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Décomposition LU

Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on appelle décomposition LU de $A$ toute écriture de $A$ sous la forme $A=LU$, où $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice triangulaire supérieure. Plus généralement, on dit que $A$ admet une décomposition $PLU$ si $A=PLU$ où $P$ est une matrice de permutation, $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice triangulaire supérieure.

On a les propriétés suivantes :

  • toute matrice carrée $A$ admet une décomposition PLU.
  • Une matrice inversible $A$ admet une décomposition LU si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (rappelons que pour $k=1,\dots,n,$ le mineur principal d'ordre $k$ de $A$ désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en extrayant les $k$ premières lignes et colonnes).
  • Si $A$ est inversible et admet une décomposition LU, alors celle-ci est unique.

Obtenir une décomposition LU d'une matrice $A$ est important lorsqu'on souhaite résoudre plusieurs fois à la suite des systèmes linéaires du type $Y=AX$. Il suffit alors en effet de résoudre deux systèmes triangulaires.

L signifie "Lower", et U signifie "Upper".
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique