Décomposition en éléments simples
La décomposition en éléments simples est une manière d'écrire une fraction rationnelle qui permet notamment de calculer aisément des primitives de fractions rationnelles.
En général, le corps $\mathbb K$ est $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Sur $\mathbb C$, tous les polynômes sont scindés et $D$ se factorise en $D=(X-a_1)^{\alpha_1}\cdots (X-a_r)^{\alpha_r}.$ Le théorème précédent se traduit en $$F=E+\sum_{i=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{a_{i,j}}{(X-a_i)^j}\right)$$ où $a_{i,j}$ est élément de $\mathbb C$. La somme $$\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{a_{i,j}}{(X-a_i)^j}$$ s'appelle alors la partie polaire relative au pôle $a_i$.
Sur $\mathbb R$, il faut ajouter les facteurs irréductibles de la forme $X^{2}+pX+q$, avec $p^{2}-4q<0$. La décomposition en éléments simples s'écrit donc $$F=E+\sum_{i=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{a_{i,j}}{(X-a_i)^j}\right)+\sum_{i=1}^l \left(\sum_{j=1}^{\beta_i}\frac{b_{i,j}X+c_{i,j}}{(X^2+p_i X+q_i)^j}\right).$$
- La partie entière s'obtient comme quotient de la division euclidienne de $N$ par $D$.
- Pour un pôle simple de $F$, ie si $F$ s'écrit $F=\frac{N}{(X-a)D_1}$ où $D_1(a)$ n'est pas nul, la décomposition en éléments simples de $F$ fait apparaitre un terme du type $\frac{\lambda}{X-a}.$ Le coefficient $\lambda$ s'obtient par les formules $$\lambda=\frac{N(a)}{D_1(a)}=\frac{N(a)}{D'(a).}$$
- Pour un pôle multiple de $F$, ie si $F$ s'écrit $F=\frac{N}{(X-a)^m D_1}$ où $D_1(a)$ n'est pas nul, la décomposition en éléments simples de $F$ relative au pôle $a$ s'écrit $$\frac{a_0}{(X-a)^m}+\frac{a_1}{(X-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{a_{m-1}}{X-a}.$$ On pose $B(X)=N(X+a)$ et $R(X)=Q(X+a)$. Alors $P(X)=a_{0}+a_{1}X+...+a_{m-1}X^{m-1}$ est le quotient dans la division suivant les puissances croissantes à l'ordre $m-1$ de $B$ par $R$.
- La division suivant les puissances croissantes n'étant plus tellement enseignée, on peut aussi déterminer les coefficients $a_0,\dots,a_{m-1}$ successivement. On a en effet $$a_{m-1}=\frac{N(a)}{D_1(a)}.$$ On pose ensuite $$F_1=F-\frac{a_{m-1}}{(X-a)^m}$$ dont $a$ est un pôle de multiplicité au plus $m-1$. On peut alors par la même méthode calculer $a_{m-2}$, et ainsi de suite...
- Pour un facteur de seconde espèce $X^{2}+pX+q$, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ et regrouper les termes, ou bien procéder par identification.