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Théorème de Darboux

  Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, sa dérivée n'est pas forcément une fonction continue : par exemple, si $f$ est définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2\sin(1/x)$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$, alors on peut prouver que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, et pourtant sa dérivée n'est pas continue en 0.

  Toutefois, la dérivée d'une fonction vérifie certaines propriétés des fonctions continues :
Théorème (Darboux) : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to \mathbb R$ dérivable. Alors $f(I)$ est un intervalle.
Autrement dit, le théorème de Darboux dit que la dérivée d'une fonction, même si cette dérivée n'est pas continue, vérifie les conclusions du théorème des valeurs intermédiaires.
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