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Polynômes cyclotomiques

Pour $n\geq 1$, on appelle $n$-ième polynôme cyclotomique le polynôme suivant :

Autrement dit, les racines de ce polynôme sont exactement les racines primitives n-ièmes de l'unité (c'est-à-dire les racines n-ièmes de l'unité qui ne sont pas racines q-ièmes pour un entier q strictement inférieur à n).

Bien que cela ne saute pas aux yeux, les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers. On peut aussi prouver qu'ils sont irréductibles dans l'anneau de polynômes $\mathbb Q[X]$, et qu'ils vérifient la relation :

Les polynômes cyclotomiques sont souvent utilisés pour prouver des résultats d'arithmétique, comme cette version faible du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet : si n est un entier, il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.

Référence : S.Francinou, H.Gianella, Exercices de Mathématiques pour l'Agrégation, Algèbre 1

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