Endomorphisme cyclique
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x$ de E tel que $(x,u(x),...,u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$. Les endomorphismes cycliques admettent des matrices particulières dans la base précédente :
Proposition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est cyclique
si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice compagnon du polynôme
caractéristique de $u$.
Autrement dit, $u$ est cyclique si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est de la forme
$$\left(
\begin{array}{ccccc}
0&\dots&\dots&0&-a_0\\
1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\
0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{n-2}\\
0&\dots&0&1&-a_{n-1}
\end{array}\right).$$
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