$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Convergence simple, uniforme, normale

  De nombreuses fonctions apparaissent naturellement comme des limites d'autres fonctions plus simples. C'est le cas par exemple de la fonction exponentielle, que l'on peut définir par l'une des deux formules suivantes :
C'est aussi le cas pour des problèmes plus théoriques, comme lorsque l'on construit des solutions d'équations (par exemple différentielles) : on construit souvent par récurrence des solutions approchées qui "convergent" vers une solution exacte.

  Ainsi, les problèmes suivants sont importants : quel sens peut-on donner à la convergence d'une suite de fonctions? Quelles sont les propriétés qui sont ainsi préservées?

Convergence simple
Définition : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur $I$, et $f$ définie sur $I$. On dit que $(f_n)$ converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$.
Ex : $I=[0,1]$ et $f_n(x)=x^n$. Il est clair que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f$ définie par $f(x)=0$ si $x$ est dans $[0,1[$ et $f(1)=1$.

  Dès cet exemple très simple, on constate l'insuffisance de la convergence simple : chaque fonction $(f_n)$ est continue, la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, et pourtant $f$ n'est pas continue. Ainsi, la continuité n'est pas préservée par convergence simple. C'est pourquoi on a besoin d'une notion plus précise.

Convergence uniforme
Définition : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur $I$, et $f$ définie sur $I$. On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si $$\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb N,\ \forall x\in I,\ \forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.$$
Si on note $\|f_n-f\|_\infty=\sup\{|f_n(x)-f(x)|;\ x\in I\}$, on peut aussi remarquer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si l'on a $\|f_n-f\|_\infty\to 0.$

  La précision apportée par la convergence uniforme par rapport à la convergence simple est la suivante : dire que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ signifie que, pour tout point $x$ de $I$, $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. La convergence uniforme signifie que, de plus, la convergence a lieu "à la même vitesse" pour tous les points $x$.

   Essayons d'interpréter la différence entre la convergence simple et la convergence uniforme sur la figure dynamique suivante : on représente la suite de fonction $f_n(x)=n^a x e^{-nx}$ pour $a=0,5$, $a=1$ ou $a=1,5$. Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur l'intervalle $[0,+\infty[$. La bosse correspond à $\|f_n-f\|_\infty$. Dans les trois cas, elle se déplace vers la gauche, ce qui va entraîner la convergence simple de la suite vers 0 : tout point de $]0,+\infty[$ sera à un moment donné à droite de cette bosse, et on aura $f_n(x)$ qui tend vers 0. En revanche, pour $a=1,5$, la hauteur de la bosse augmente : il n'y aura donc pas convergence uniforme. Pour $a=1$, la hauteur de la bosse reste constante. Il n'y a pas là non plus convergence uniforme. Enfin, si $a=0,5$, la bosse s'aplatit, et sa hauteur tend vers 0 : cela signifie que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[0,+\infty[$.

  La convergence uniforme répond au problème posé pour préserver la continuité :

Théorème : Si les $(f_n)$ sont des fonctions continues sur $I$, et si elles convergent uniformément vers $f$ sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

On a aussi les résultats suivants, concernant respectivement l'intégration et la dérivation d'une suite de fonctions :
Théorème : Si les $(f_n)$ sont des fonctions continues sur $I=[a,b]$, et si elles convergent uniformément vers $f$ sur $I$, alors on a :
En particulier, ceci entraîne la permutation limite/intégrale suivante :
La preuve de ce résultat est immédiate, une fois écrite l'inégalité
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $C^1$ sur $I$. On suppose que :
  • il existe $x_0$ dans $I$ tel que $f_n(x_0)$ converge.
  • $(f'_n)$ converge uniformément vers une fonction $g$ sur $I$.
Alors $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ sur $I$, $f$ est $C^1$, et $f'=g$.
Ce théorème se déduit aisément du précédent, en remarquant que
et en passant à la limite.

Convergence normale
  Le paragraphe précédent a montré l'importance de la convergence uniforme des suites de fonctions. Hélas, prouver que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ n'est pas souvent une chose facile, et en général, il est nécessaire d'étudier $\|f_n-f\|_\infty$/ On dispose toutefois d'autres méthodes lorsqu'on étudie une série de fonctions : critère des séries alternées, comparaison à une intégrale, transformation d'Abel... et surtout convergence normale!
Définition : On dit que la série de fonctions converge normalement sur $I$ si la série (numérique) est convergente.
La proposition importante est :
Proposition : Si la série converge normalement sur I, alors la suite des sommes partielles $S_N(x)=\sum_{n=0}^N u_n(x)$ converge uniformément vers une fonction $S$ sur $I$.
En pratique, on majore $u_n(x)$ par une constante $M_n$ qui ne dépend pas de $x$, et on cherche à prouver que la série de terme général $M_n$ converge.

Ces notions de convergence simple et de convergence uniforme sont maintenant bien comprises. Il n'en fut pas toujours ainsi. Un mathématicien aussi réputé que Cauchy écrit encore en 1821, dans son Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (une référence, pourtant!) que toute série de fonctions continues converge vers une fonction continue, sans se préoccuper de convergence uniforme. Il faudra attendre les travaux de Weierstrass, que l'on a appelé le "législateur de l'analyse", vers 1850, pour mettre au point définitivement ces choses.
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