$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorèmes de convergence pour l'intégrale de Lebesgue

  Nous donnons des énoncés pour un espace mesuré (X,B,m). Pour des énoncés moins généraux, on pourra penser X=R ou X=intervalle de R, et on pourra enlever les conditions de "presque partout".

Convergence monotone
Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions mesurables sur X, telle que :
  • 0<=f1(x)<=f2(x)<=...<=fn(x)
  • fn(x)->f(x) pour presque tout x.
Alors f est mesurable, et :

Convergence dominée
Théorème : Soit fn:X->C une suite de fonctions mesurables telle que :
  • fn(x)->f(x) pour presque tout x.
  • il existe g dans L1(X,m) tel que |f(x)|<=g(x).
Alors (fn) est dans L1(X,m), et :
En particulier,

On déduit de ce théorème les corollaires pratiques de continuité et de dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale :
Continuité : Soit I un intervalle de R, et f : I×X->C. On suppose que :
  • Pour presque tout x de X, la fonction t->f(t,x) est continue au point t0.
  • Il existe une fonction g de L1(X,m) telle que |f(t,x)|<=g(x) pour tout t de I, pour presque tout x de X.
Alors la fonction est continue au point t0.
Dérivabilité : Soit I un intervalle de R, et f : I×X->C. On suppose que :
  • Pour presque tout x de X, la fonction t->f(t,x) est dérivable sur I.
  • Il existe une fonction g de L1(X,m) telle que, pour tout t de I, pour presque tout x de X,
Alors la fonction est dérivable sur I, et sa dérivée est donnée par :

Lemme de Fatou
Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions mesurables positives. Alors :
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