$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Abscisse curviligne

  L'abscisse curviligne est un moyen de reparamétrer un arc par sa longueur. Fixons $(I,f)$ un arc paramétré orienté de classe $C^1$.

Définition : On appelle abscisse curviligne de $(I,f)$ toute application $s$ de $I$ dans $\mathbb R$ telle que, si $t_1$ et $t_2$ sont deux éléments de I vérifiant $t_1<t_2$, alors $s(t_2)-s(t_1)$ est la longueur de l'arc $([t_1,t_2],f)$.

  En croisant cette définition avec les méthodes pratiques de calcul de la longueur d'un arc paramétré, on obtient la proposition suivante :

Proposition : Les abscisses curvilignes de l'arc orienté $(I,f)$ sont exactement les primitives de la fonction $\|f'(t)\|$.

Il existe donc une abscisse curviligne pour un arc de classe $C^1$, et toutes les abscisses curvilignes de cet arc sont égales à une constante additive près. En pratique, on peut calculer l'abscisse curviligne $s$ par les formules suivantes :
  • en représentation cartésienne, $f(t)=(x(t),y(t))$, on a :
    $$s'(t)=\frac{ds}{dt}=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}.$$
  • pour un arc paramétré en polaires $f(\theta)=r(\theta)\vec u(\theta)$,
    $$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}.$$
L'abscisse curviligne permet un reparamétrage "canonique" de l'arc, comme le montre la proposition suivante :

Proposition : Si $s$ est une abscisse curviligne de l'arc $(I,f)$, alors $s$ est une application strictement croissante de $I$ sur $J=s(I)$. De plus, si on pose

alors $(J,g)$ est un reparamétrage de l'arc orienté $(I,f)$ qui vérifie

Le paramétrage (J,g) s'appelle paramétrage par l'abscisse curviligne. La dernière propriété de la proposition précédente signifie qu'il est normal.
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