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Bibm@th

Abscisse curviligne

L'abscisse curviligne est un moyen de paramétrer un arc par sa longueur. Fixons $(I,f)$ un arc paramétré orienté de classe $C^1$.

On appelle abscisse curviligne de $(I,f)$ toute application $s$ de $I$ dans $\mathbb R$ telle que, si $t_1$ et $t_2$ sont deux éléments de I vérifiant $t_1<t_2$, alors $s(t_2)-s(t_1)$ est la longueur de l'arc $([t_1,t_2],f)$.

En croisant cette définition avec les méthodes pratiques de calcul de la longueur d'un arc paramétré, on obtient la proposition suivante :

Proposition : Les abscisses curvilignes de l'arc orienté $(I,f)$ sont exactement les primitives de la fonction $\|f'(t)\|$.

Il existe donc une abscisse curviligne pour un arc de classe $C^1$, et toutes les abscisses curvilignes de cet arc sont égales à une constante additive près. En pratique, on peut calculer l'abscisse curviligne $s$ par les formules suivantes :

  • en représentation cartésienne, $f(t)=(x(t),y(t))$, on a : $$s'(t)=\frac{ds}{dt}=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}.$$
  • pour un arc paramétré en polaires $f(\theta)=r(\theta)\vec u(\theta)$, $$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}.$$

L'abscisse curviligne permet un paramétrage "canonique" de l'arc, comme le montre la proposition suivante :

Proposition : Si $s$ est une abscisse curviligne de l'arc $(I,f)$, alors $s$ est une application strictement croissante de $I$ sur $J=s(I)$. De plus, si on pose $$\begin{array}{rcl} g:J&\to&\mathbb R\\ u&\mapsto&f(s^{-1}(u)) \end{array}$$ alors $(J,g)$ est un reparamétrage de l'arc orienté $(I,f)$ qui vérifie $$\forall u\in J,\ \|g'(u)\|=1.$$

Le paramétrage $(J,g)$ s'appelle paramétrage par l'abscisse curviligne. La dernière propriété de la proposition précédente signifie qu'il est normal.

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