$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Sens de variation d'une fonction / d'une suite

  Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R. La fonction sera dite croissante sur I si :
Pour tous a et b de I, si ab, alors f(a)f(b).
Elle est dite strictement croissante si :
Pour tous a et b de I, si a< b, alors f(a)< f(b).
Bien sûr, on a des définitions similaires pour des fonctions décroissantes, ou strictement décroissantes. Une fonction croissante ou décroissante sera dite monotone. Et lorsqu'un exercice demande d'étudier le sens de variation d'une fonction, c'est qu'il faut étudier si cette fonction est croissante, ou décroissante.

  On a la caractérisation suivante :
Théorème : Soit I un intervalle de R, et f de I dans R dérivable. Alors f est croissante si, et seulement si, f '(x)0 pour tout x de I.
Si f ' est strictement positive, on peut préciser que f est strictement monotone, mais on n'a pas la réciproque. Par exemple, si on pose f(x)=x3, f est strictement croissante, et pourtant f '(0)=0.

  Les fonctions monotones sont notamment associées aux homéomorphismes d'intervalles de R. Par exemple, f qui va de I dans R monotone est bijective de I sur f(I) si, et seulement si, elle est continue. Et dans ce cas, la réciproque f -1 est elle aussi continue.

  Il est également possible de définir une suite croissante, et une suite décroissante. Par exemple, une suite est croissante si pour tout entier n, unun+1.

Si vous lisez un texte mathématique anglais, prenez garde à la signification du mot "increasing function" : cela signifie une fonction strictement croissante. Pour désigner une fonction croissante, les anglo-saxons emploient en effet l'expression "non-decreasing"!!! Ah, ces Anglais!