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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Fonctions d'une variable réelle >

Fonctions à décroissance rapide, ou à croissance lente

Soit $f:\mathbb R^n \to\mathbb R$. On dit que $f$ est

  • à décroissance rapide si, pour tout $\alpha\in\mathbb N^n$, $x^\alpha f$ est une fonction bornée, autrement dit si le produit de $f$ par tout polynôme reste borné. Par exemple, $f(x)=\exp(-|x|)$ est à décroissance rapide.
  • à croissance lente s'il existe un polynôme $P$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R^n,$ $|f(x)|\leq P(\|x\|)$. Par exemple, toute fraction rationnelle est à croissance lente.
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