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Courbure d'une courbe

  Prenez une courbe, et prenez un point A sur cette courbe. Tracez la normale à cette courbe, et prenez un point O sur la normale. Alors, le cercle de centre O passant par A est tangent à la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon... En effet, si O est proche de A, le cercle va se situer plutôt "à l'intérieur de la courbe". Si O est loin de A, le cercle sera plutôt "à l'extérieur de la courbe". Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être "à l'extérieur de la courbe" s'appelle le rayon de courbure de la courbe au point A. Le cercle correspondant se nomme le cercle osculateur.

  Donnons maintenant une définition mathématique précise. On suppose donc que l'on a une courbe paramétrée de classe C2. On note s l'abscisse curviligne sur la courbe, M(s) le point d'abscisse s, le vecteur tangent au point d'abscisse s et le vecteur normal. Alors la courbure de la courbe en un point est le réel c tel que
Le rayon de courbure est lui défini par R=1/c. Le cercle osculateur est le cercle dont le centre est le point O, situé sur la normale, est tel que
Le centre du cercle osculateur s'appelle aussi centre de courbure de la courbe au point M(s).

On a souvent besoin en pratique de calculer le rayon de courbure. Ceci peut être fait à l'aide des formules suivantes :
  • si la courbe est une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)), on a
  • si la courbe est une courbe paramétrée en coordonnées polaires $r=r(\theta)$, on a
  • si la courbe est la courbe représentative d'une fonction f, donnée donc par (x,f(x)), on a
Remarquons qu'avec ces formules, le rayon de courbure peut être positif ou négatif, ce qui indique simplement de quel côté de la normale est le centre de courbure. Ainsi, lorsque la courbure est négative, la courbe tourne vers la droite, alors que lorsque la courbure est positive, la courbe tourne vers la gauche.

Le terme "osculateur" vient du latin osculor, osculatus = caresser. Quelle belle façon de désigner le cercle qui approche le mieux la courbe!

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