Coupures de Dedekind
Qu'est-ce qu'un nombre réel? Cette question peut paraître absurde à qui est habitué à voir les réels comme une droite, et pourtant... Il est difficile de dire précisément ce qu'est un nombre réel. Pour un mathématicien, comme pour tout le monde d'ailleurs, tout commence avec les entiers naturels. Il en déduit aisément les entiers relatifs, les nombres rationnels, mais comment définir les réels?
Dedekind a proposé, vers 1872, un moyen de définir les réels à partir des coupures de $\mathbb Q$. On appelle coupure de $\mathbb Q$ la donnée de deux parties $A$ et $B$ non vides et disjointes de $\mathbb Q$ telles que :
- si $r$ est élément de $A$, tout élément $x$ de $\mathbb Q$ inférieur à $r$ appartient à $A$.
- si $r'$ est élément de $B$, tout élément $y$ de $\mathbb Q$ supérieur à $r'$ appartient à $B$.
- pour tout rationnel $\veps>0$, on peut trouver $x\in A$ et $y\in B$ tels que $|x-y|<\veps$.
Tout élément de $B$ est supérieur à tout élément de $A$; s'il existe un rationnel n'appartenant ni à $A$, ni à $B$, il est plus grand que tous les éléments de $A$, plus petit que tous les éléments de $B$, tout $x$ de Q (strictement) inférieur à cet élément est dans $A$, tout $y$ de $\mathbb Q$ (strictement) supérieur à cet élément est dans $B$. Il ne peut donc pas exister deux rationnels non classés. On distingue plusieurs types de coupures :
- coupure ouverte triviale : les deux parties ne réalisent pas une partition de $\mathbb Q$, et il existe $r$ de $\mathbb Q$ qui n'appartient ni à $A$, ni à $B$. On a alors : $$A=\{x\in\mathbb Q:\ x<r\}\textrm{ et }B=\{x\in\mathbb Q:\ x>r\}.$$
- coupure ouverte non triviale : les deux parties ne réalisent pas une partition de $\mathbb Q$, et $A$ n'admet pas de plus grand élément, $B$ n'admet pas de plus petit élément. C'est le cas par exemple de la coupure : $$A=\{x\in\mathbb Q:\ x\leq 0\textrm{ ou }(x>0\textrm{ et }x^2<2\}\textrm{ et }B=\{x\in\mathbb Q:\ x\geq 0\textrm{ et }x^2\geq 2\}.$$
- coupure fermée : les deux parties forment une partition de $\mathbb Q$, et $A$ admet un plus grand élément, ou $B$ admet un plus petit élément. Si par exemple, $r$ est le plus grand élément de $A$, on a : $$A=\{x\in\mathbb Q:\ x\leq r\}\textrm{ et }B=\{x\in\mathbb Q:\ x>r\}.$$
Chaque coupure de $\mathbb Q$ définit un nombre réel : dans le premier et le troisième cas, elle définit simplement le rationnel $r$, mais dans le deuxième elle correspond à l'irrationnel $\sqrt 2$. Il reste malheureusement encore des efforts à faire pour démontrer les propriétés axiomatiques de $\mathbb R$. On préfère souvent utiliser la construction de Cantor de $\mathbb R$ comme complété de $\mathbb Q$.