$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Corrélation des variables aléatoires

Définition :
  • Soient X et Y des variables aléatoires admettant une espérance. On appelle covariance de X l'espérance du produit (X-E(X))(Y-E(Y)) :
  • Soient X et Y des variables aléatoires admettant une covariance, et des variances non nulles. Leur coefficient de corrélation linéaire est alors défini par :
  • X et Y sont dites non corrélées si

Interprétation : Le coefficient de corrélation linéaire mesure la dépendance affine de X et Y. Ainsi, si , il existe des constantes a et b telles que Y=aX+b. A l'autre bout de l'échelle, si X et Y sont indépendantes, .

Deux variables indépendantes sont non corrélées, mais la réciproque est fausse!


Matrice de covariance
  Si (Xi) est une suite finie de variables aléatoires, la matrice des variances/covariances des (Xi) est la matrice carrée dont le coefficient en (i,j) est donné par :
Par exemple, la matrice de covariance de (X,Y) est :
Une matrice de covariance est toujours symétrique.