Corps de nombres

On appelle corps de nombres toute extension de $\mathbb Q$ de degré fini (et donc algébrique). Si $\mathbb K$ est un corps de nombres, le degré de l'extension $n=[\mathbb K:\mathbb Q]$ est appelé degré de $\mathbb K$. Pour $n=2$, on parle de corps quadratique, pour $n=3$, de corps cubique.

Tout sous-corps de $\mathbb C$ engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres. Réciproquement, tout corps de nombres est de cette forme, et peut même être engendré par un seul nombre algébrique.

Si $\mathbb K$ est un corps de nombres, les éléments de $\mathbb K$ qui sont entiers sur $\mathbb Z$, c'est-à-dire qui sont racine d'un polynôme unitaire à coefficient dans $\mathbb Z$ sont appelés les entiers de $\mathbb K$ ; ils forment un sous-anneau de $\mathbb K$, noté $O_{\mathbb K}$ contenant $\mathbb Z$, et appelé anneau des entiers de $\mathbb K$. C'est un anneau de Dedekind. Il est clairement stable par tout automorphisme de K.

Le corps des nombres algébriques n’est pas un corps de nombres. En effet cette extension algébrique de $\mathbb Q$ n'est pas une extension finie.