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Corps des fractions d'un anneau intègre

  L'ensemble des entiers relatifs Z possède une grave lacune. Il existe des éléments non inversibles pour la multiplication. Par exemple, il n'existe pas d'éléments b de Z avec 2b=1. Pour que 2 soit inversible, il faut plonger Z dans l'ensemble des rationnels Q, où tout élément est devenu inversible.

  Ce procédé peut se généraliser à tout anneau intègre A. Précisément, on a le théorème suivant :
Théorème : Soit $A$ un anneau intègre. Il existe un plus petit corps, à isomorphisme près, contenant $A$. Ce corps s'appelle corps des fractions de $A$.
  Les éléments du corps se notent $\frac ab$, avec $a,b\in A$, $b\neq 0$. On identifie les fractions $\frac ab$ et $\frac cd$ lorsque la relation $ad-bc=0$ est vérifiée.
Fabrication du corps des fractions
  Si $A$ est un anneau intègre, on fabrique son corps des fractions de la façon suivante. On munit l'ensemble $E=A\times A\backslash\{0\}$ des opérations suivantes :
  • une addition : $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,ad)$;
  • une multiplication : $(a,b)\times(c,d)=(ac,bd)$.
On munit ensuite $E$ d'une relation d'équivalence : $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.$$ On montre alors que l'ensemble quotient de $E$ pour cette relation d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalences de $E$, muni de l'opération précédente, est un corps, et c'est le corps des fractions de $A$.
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