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Bibm@th

Spirale de Cornu

  Avez-vous déjà remarqué comme un TGV enchaîne les courbes à 300km/h sans qu'on ne ressente rien? Avez-vous déjà observé comme il est facile de sortir d'une autoroute sans devoir se battre contre son volant? Prouesse de la technologie moderne? Pas seulement... Ceci doit beaucoup à une drôle de courbe, la spirale de Cornu, encore baptisée clothoïde.

  Imaginons en effet qu'une route soit constituée de lignes droites et d'arcs de cercles. Lorsque vous roulez à une vitesse constante égale à V en ligne droite, votre corps n'est soumis à aucune accélération. Si d'un coup vous abordez un arc de cercle de rayon R, votre corps, en raison de la force centrifuge, sera soumis brutalement à une accélération valant V2/R. De quoi le mettre à rude épreuve, lui, la carosserie et les suspensions!

  Les ingénieurs réalisent donc des raccordements en utilisant des courbes dont la courbure varie continûement de 0 à une constante donnée. Dans l'idéal, il faut même que le conducteur puisse tourner son volant à une vitesse constante, au fur et à mesure que la courbe se reserre. Une seule courbe vérifie cette condition, la spirale de Cornu, ou clothoïde.
Cette image est libre, et sous licence GFDL

  Mathématisons un peu tout cela! La condition qu'on a sur la clothoïde est que, parcourue à vitesse constante, sa courbure varie linéairement (le volant tourne à la même vitesse). Autrement dit, si Rc est le rayon de courbure (l'inverse de la courbure) et si s est l'abscisse curviligne, on a Rcs=cste. On injecte alors les formules bien connues donnant s et Rc, et on trouve des équations différentielles à résoudre! Et finalement, on trouve que la spirale de Cornu est la courbe paramétrée correspondant à :
Le problème est qu'on ne connait pas les primitives de cos(t2) et sin(t2), et pendant très longtemps, il fut difficile de tracer cette courbe.

Le nom de clothoïde vient du grec klothein, filer. Clotho était celle des 3 Parques qui filait la destinée des hommes avec un fil nommé le temps. D'où le nom de clothoïde, car la courbe ressemble à un fil qui s'enroule le long d'un rouet. Dans l'histoire, on l'a aussi appelée spirale d'Euler, ou spirale de Fresnel. Pourtant, le premier à s'y être intéressé est Jacques Bernoulli, qui l'étudie pour ses travaux en optique dès 1705. Le physicien Alfred Cornu s'y intéresse près d'un siècle plus tard, à l'occasion de travaux sur les phénomènes de diffraction.
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