$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Coordonnées et repérage

Le problème des coordonnées vient de celui du repérage d'un point. Comment, sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace situer un point?

Sur une droite

Pour repérer un point sur une droite, on la gradue! Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le point $O$) et un point unité (le point $I$). Chaque point d'une droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé l'abscisse du point.

Sur l'exemple ci-dessus, le point $C$ est d'abscisse $3,\!5,$ et le point $D$ est d'abscisse $-1.$ Vectoriellement, on définit l'abscisse sur une droite graduée $(O,I)$ de la façon suivante : un point $M$ est d'abscisse $x$ si on a l'égalité vectorielle : $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OI}.$

Dans un plan

Ca se complique sérieusement...puisqu'il y a plusieurs possibilités!

Coordonnées cartésiennes

On suppose qu'on a un repère orthogonal du plan, c'est-à-dire la donnée d'un point $O$ et de deux droites $(Ox)$ et $(Oy)$ orthogonales, chacune d'entre elles étant graduée. Si $M$ est un point du plan, en projetant le point $M$ sur l'axe $(Ox),$ suivant l'axe $(Oy),$ on obtient un point sur la droite graduée, dont nous notons $x$ l'abscisse. De même, en projetant sur $(Oy)$ suivant $(Ox),$ on obtient un point sur $(Oy)$ dont on note $y$ l'abscisse. On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$. $x$ s'appelle l'abscisse du point $M$, tandis que $y$ s'appelle l'ordonnée du point $M$. A tout couple $(x,y)$ correspond ainsi un unique point du plan.

Même si on travaille le plus souvent avec un rapport orthogonal du plan, ce n'est pas obligatoire, et on peut définir des coordonnées dans un tel repère exactement de la même façon.

Avec des vecteurs, tout est plus facile, puisqu'un repère peut également se définir par la donnée d'un point $O,$ et de deux vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ qui ne sont pas colinéaires. Si $M$ est un point du plan, on a $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j},$ où $(x;y)$ sont les coordonnées du point $M.$

Coordonnées polaires

On suppose qu'on a un repère orthonormé du plan $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, et $M$ un point de ce plan. Alors on peut repérer ce point par :

  • la mesure $\theta$ de l'angle en le vecteur $\overrightarrow{i}$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}.$
  • la longueur $r=OM.$

Le couple $(r,\theta)$ s'appelle coordonnées polaires de $M$.

À un couple $(r,\theta)$ correspond un unique point $M$, en revanche on peut associer à $M$ plusieurs coordonnées polaires, en changeant $\theta$ en $\theta+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z.$ Les coordonnées polaires sont par exemple très utiles pour étudier des quantités qui ne dépendent, en un point, que de la distance au centre du repère (fonctions radiales).

Dans l'espace

Coordonnées cartésiennes

On procède comme pour le plan, mais il faut ajouter une coordonnée. Si on a un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, pour tout point $M$ on a une égalité du type : $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.$ $x,y,z$ s'appellent les coordonnées cartésiennes du point $M$ ($x$ s'appelle l'abscisse,$y$ s'appelle l'ordonnée, et $z$ s'appelle la cote).

Coordonnées cylindriques

Soit un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormé de l'espace. Les coordonnées cylindriques d'un point $M$ sont les 3 nombres réels $r,\theta,z$ tels que :

  • $z$ est la cote du point $M$
  • $r$ et $\theta$ sont les coordonnées polaires du point $m$, projection orthogonale du point $M$ sur le plan $xOy$.

Coordonnées sphériques

Soit un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormé de l'espace. Les coordonnées sphériques d'un point $M$ sont les 3 nombres réels $r,\theta,\phi$ tels que :

  • $r$ est la longueur $OM$.
  • $\theta$ est l'angle fait entre les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{Om},$ $m$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $xOy$.
  • $\phi$ est l'angle fait entre les vecteurs $\overrightarrow{Om}$ et $\overrightarrow{OM}.$

Les courbes pour lesquelles $r$ et $\theta$ sont fixes, et $\phi$ varie s'appellent des méridiens,et $\phi$ est la latitude d'un point. Les courbes pour lesquelles $r$ et $\phi$ sont fixes, et $\theta$ varie, s'appellent des parallèles, et $\theta$ est la longitude d'un point.

On définit parfois les coordonnées sphériques avec le complémentaire de l'angle $\phi.$ Cet angle s'appelle la colatitude.

Coordonnées homogènes

Soit $M$ un point du plan, de coordonnées cartésiennes $x,y$. On appelle coordonnées homogènes de $M$ tout triplet de réels $X,Y,$ et $T$ tels que : $x=X/T$, et $y=Y/T$. Les coordonnées homogènes ne sont pas uniques, et sont définies à une constante multiplicative près. Un point $M$ pour lequel $T=0$ est un point à l'infini, et l'ensemble de tous ces points s'appelle la droite à l'infini. On définit ainsi le plan projectif. Deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini.

Dans un espace vectoriel

On peut parler de coordonnées dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels. Si $E$ est un espace vectoriel, et si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, tout vecteur $v$ s'écrit, de façon unique, $v=x_1e_1+\cdots+x_n e_n.$ Alors les réels $(x_1,\dots,x_n)$ s'appellent les coordonnées de $v$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$.

Les coordonnées homogènes ont été introduites par August Ferdinand Möbius en 1827.
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