Coordonnées et repérage
Le problème des coordonnées vient de celui du repérage d'un point. Comment, sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace situer un point?Sur une droite
Pour repérer un point sur une droite, on la gradue! Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le point O) et un point unité (le point I).
Chaque point d'une droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé l'abscisse du point.


Dans un plan
Ca se complique sérieusement...puisqu'il y a plusieurs possibilités!
Coordonnées cartésiennes
On suppose qu'on a un repère orthogonal du plan, c'est-à-dire la donnée d'un point O et de deux droites (Ox) et (Oy) orthogonales, chacune d'entre elles étant graduée.
Si M est un point du plan, en projetant le point M sur l'axe (Ox), suivant l'axe (Oy), on obtient un point sur la droite graduée, dont nous notons x l'abscisse.
De même, en projetant sur (Oy) suivant (Ox), on obtient un point sur (Oy) dont on note y l'abscisse. On dit alors que le point M a pour coordonnées (x,y). x
s'appelle l'abscisse du point M, tandis que y s'appelle l'ordonnée du point M. A tout couple (x,y) correspond ainsi un unique point du plan.





- la mesure
de l'angle en le vecteur
et le vecteur
.
- la longueur r=OM.






Dans l'espace
Coordonnées cartésiennes
On procède comme pour le plan, mais il faut ajouter une coordonnée.
Si on a un repère 




- z est la cote du point M
- r et
sont les coordonnées polaires du point m, projection orthogonale du point M sur le plan xOy.




- r est la longueur OM.
est l'angle fait entre les vecteurs
et
,m étant le projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
est l'angle fait entre les vecteurs
et
.









Coordonnées homogènes
Soit M un point du plan, de coordonnées cartésiennes x,y. On appelle coordonnées homogènes de M tout triplet de réels X,Y, et T tels que : x=X/T, et y=Y/T. les coordonnées homogènes ne sont pas uniques, et sont définies à une constante multiplicative près.
Un point M pour lequel T=0 est un point à l'infini, et l'ensemble de tous ces points s'appelle la droite à l'infini. On définit ainsi le plan projectif. Deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini.
Encore plus fort....
On peut parler de coordonnées dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels. Si E est un espace vectoriel, et si e1,...,en est une base de E,
tout vecteur v s'écrit, de façon unique, v=x1e1+...+xnen. Alors les réels (x1,...,xn) s'appellent les coordonnées de v dans la base e1,...,en.

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