Coordonnées et repérage
Le problème des coordonnées vient de celui du repérage d'un point. Comment, sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace situer un point?Sur une droite
Pour repérer un point sur une droite, on la gradue! Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le point O) et un point unité (le point I).
Chaque point d'une droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé l'abscisse du point.
.
Dans un plan
Ca se complique sérieusement...puisqu'il y a plusieurs possibilités!
Coordonnées cartésiennes
On suppose qu'on a un repère orthogonal du plan, c'est-à-dire la donnée d'un point O et de deux droites (Ox) et (Oy) orthogonales, chacune d'entre elles étant graduée.
Si M est un point du plan, en projetant le point M sur l'axe (Ox), suivant l'axe (Oy), on obtient un point sur la droite graduée, dont nous notons x l'abscisse.
De même, en projetant sur (Oy) suivant (Ox), on obtient un point sur (Oy) dont on note y l'abscisse. On dit alors que le point M a pour coordonnées (x,y). x
s'appelle l'abscisse du point M, tandis que y s'appelle l'ordonnée du point M. A tout couple (x,y) correspond ainsi un unique point du plan.
et 
, qui sont orthogonaux. Si M est un point du plan, on a 
, où (x;y) sont les coordonnées du point M.
Coordonnées polaires
On suppose qu'on a un repère orthonormé du plan 
, et M un point de ce plan. Alors on peut repérer ce point par :
- la mesure
de l'angle en le vecteur 
et le vecteur 
.
- la longueur r=OM.
) s'appelle coordonnées polaires de M.
) correspond un unique point M, en revanche on peut associer à M plusieurs coordonnées polaires, par exemple en changeant en +2
.
Les coordonnées polaires sont par exemple très utiles pour étudier des quantités qui ne dépendent, en un point, que de la distance au centre du repère
(fonctions radiales).
Dans l'espace
Coordonnées cartésiennes
On procède comme pour le plan, mais il faut ajouter une coordonnée.
Si on a un repère 
, pour tout point M on a une égalité du type : 
. x,y,z s'appellent les coordonnées cartésiennes du point M (x
s'appelle l'abscisse,y s'appelle l'ordonnée, et z s'appelle la cote).
orthonormé de l'espace. Les coordonnées cylindriques d'un point M sont les 3 nombres réels r,,z tels que :
- z est la cote du point M
- r et sont les coordonnées polaires du point m, projection orthogonale du point M sur le plan xOy.
orthonormé de l'espace. Les coordonnées sphériques d'un point M sont les 3 nombres réels r,,
tels que :
- r est la longueur OM.
- est l'angle fait entre les vecteurs et
,m étant le projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
- est l'angle fait entre les vecteurs et .
sont fixes, et varie s'appellent des méridiens,et est la latitude d'un point.
Les courbes pour lesquelles r et sont fixes, et varie, s'appellent des parallèles, et est la longitude d'un point.
. Cet angle s'appelle la
colatitude.
Coordonnées homogènes
Soit M un point du plan, de coordonnées cartésiennes x,y. On appelle coordonnées homogènes de M tout triplet de réels X,Y, et T tels que : x=X/T, et y=Y/T. les coordonnées homogènes ne sont pas uniques, et sont définies à une constante multiplicative près.
Un point M pour lequel T=0 est un point à l'infini, et l'ensemble de tous ces points s'appelle la droite à l'infini. On définit ainsi le plan projectif. Deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini.
Encore plus fort....
On peut parler de coordonnées dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels. Si E est un espace vectoriel, et si e1,...,en est une base de E,
tout vecteur v s'écrit, de façon unique, v=x1e1+...+xnen. Alors les réels (x1,...,xn) s'appellent les coordonnées de v dans la base e1,...,en.
Les coordonnées homogènes ont été introduites
par August Ferdinand Möbius en 1827.Consulter aussi...