Coordonnées et repérage

Géométrie -- Géométrie plane
Géométrie -- Géométrie dans l'espace
Géométrie -- Géométrie projective

  Le problème des coordonnées vient de celui du repérage d'un point. Comment, sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace situer un point?
Sur une droite
  Pour repérer un point sur une droite, on la gradue! Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le point O) et un point unité (le point I). Chaque point d'une droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé l'abscisse du point.
Sur l'exemple ci-dessus, le point C est d'abscisse 3.5, et le point D est d'abscisse -1. Vectoriellement, on définit l'abscisse sur une droite graduée (O,I) de la façon suivante : un point M est d'abscisse x si on a l'égalité vectorielle : .
Dans un plan
  Ca se complique sérieusement...puisqu'il y a plusieurs possibilités!

  Coordonnées cartésiennes      On suppose qu'on a un repère orthogonal du plan, c'est-à-dire la donnée d'un point O et de deux droites (Ox) et (Oy) orthogonales, chacune d'entre elles étant graduée. Si M est un point du plan, en projetant le point M sur l'axe (Ox), suivant l'axe (Oy), on obtient un point sur la droite graduée, dont nous notons x l'abscisse. De même, en projetant sur (Oy) suivant (Ox), on obtient un point sur (Oy) dont on note y l'abscisse. On dit alors que le point M a pour coordonnées (x,y). x s'appelle l'abscisse du point M, tandis que y s'appelle l'ordonnée du point M. A tout couple (x,y) correspond ainsi un unique point du plan.
Avec des vecteurs, tout est plus facile, puisqu'un repère orthogonal peut également se définir par la donnée d'un point O, et de deux vecteurs, et , qui sont orthogonaux. Si M est un point du plan, on a , où (x;y) sont les coordonnées du point M.

  Coordonnées polaires     On suppose qu'on a un repère orthonormé du plan , et M un point de ce plan. Alors on peut repérer ce point par :
  • la mesure de l'angle en le vecteur et le vecteur .
  • la longueur r=OM.
Le couple (r,) s'appelle coordonnées polaires de M.
A un couple (r,) correspond un unique point M, en revanche on peut associer à M plusieurs coordonnées polaires, par exemple en changeant en +2. Les coordonnées polaires sont par exemple très utiles pour étudier des quantités qui ne dépendent, en un point, que de la distance au centre du repère (fonctions radiales).
Dans l'espace
  Coordonnées cartésiennes     On procède comme pour le plan, mais il faut ajouter une coordonnée. Si on a un repère , pour tout point M on a une égalité du type : . x,y,z s'appellent les coordonnées cartésiennes du point M (x s'appelle l'abscisse,y s'appelle l'ordonnée, et z s'appelle la cote).

  Coordonnées cylindriques      Soit un repère orthonormé de l'espace. Les coordonnées cylindriques d'un point M sont les 3 nombres réels r,,z tels que :
  • z est la cote du point M
  • r et sont les coordonnées polaires du point m, projection orthogonale du point M sur le plan xOy.

  Coordonnées sphériques     Soit un repère orthonormé de l'espace. Les coordonnées sphériques d'un point M sont les 3 nombres réels r,, tels que :
  • r est la longueur OM.
  • est l'angle fait entre les vecteurs et ,m étant le projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
  • est l'angle fait entre les vecteurs et .
Les courbes pour lesquelles r et sont fixes, et varie s'appellent des méridiens,et est la latitude d'un point. Les courbes pour lesquelles r et sont fixes, et varie, s'appellent des parallèles, et est la longitude d'un point.

On définit parfois les coordonnées sphériques avec le complémentaire de l'angle . Cet angle s'appelle la colatitude.
Coordonnées homogènes
Soit M un point du plan, de coordonnées cartésiennes x,y. On appelle coordonnées homogènes de M tout triplet de réels X,Y, et T tels que : x=X/T, et y=Y/T. les coordonnées homogènes ne sont pas uniques, et sont définies à une constante multiplicative près. Un point M pour lequel T=0 est un point à l'infini, et l'ensemble de tous ces points s'appelle la droite à l'infini. On définit ainsi le plan projectif. Deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini.
Encore plus fort....
  On peut parler de coordonnées dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels. Si E est un espace vectoriel, et si e1,...,en est une base de E, tout vecteur v s'écrit, de façon unique, v=x1e1+...+xnen. Alors les réels (x1,...,xn) s'appellent les coordonnées de v dans la base e1,...,en.
Les coordonnées homogènes ont été introduites par August Ferdinand Möbius en 1827.
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