$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Produit de convolution

Produit de convolution de fonctions
  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\mathbb R$, leur produit de convolution est défini par :
Bien sûr, il faut des hypothèses sur $f$ et $g$ pour que ce produit soit bien défini. Les hypothèses les plus courantes sont mentionnées dans le théorème suivant :

Théorème :
  1. Soient $p,q$ dans $[1,+\infty]$ tels que $\frac 1p+\frac 1q=1.$ Soient $f\in L^p(\mathbb R)$ et $g\in L^q(\mathbb R)$. Alors le produit de convolution est défini partout. C'est une fonction uniformément continue, bornée. Elle tend vers 0 à l'infini si $p\neq 1$ et $q\neq 1$.
  2. Soient $p\in[1,+\infty[$, $f\in L^p(\mathbb R)$ et $g\in L^1(\mathbb R)$. Le produit de convolution est défini presque partout, il appartient à $L^p(\mathbb R)$ avec l'inégalité :
  Quand il est bien défini, le produit de convolution a de bonne propriétés :
  • il est associatif;
  • il est commutatif;
  • La transformée de Fourier transforme le produit de convolution en produit usuel des fonctions :
  Effectuer le produit de convolution de deux fonctions signifie réaliser une moyenne de ces deux fonctions. A ce titre, il intervient notamment en électronique dans l'écriture des filtres passe-bande. Il est très utilisé en mathématiques pour approximer et régulariser des fonctions.
Produit de convolution de mesures
Définition : Soient $\mu_1$ et $\mu_2$ deux mesures finies sur $\mathbb R$. On appelle produit de convolution de $\mu_1$ et $\mu_2$ la mesure finie définie sur $\mathbb R$ par $$\mu_1\star \mu_2(A)=\mu_1\otimes \mu_2(\{(x,y);\ x+y\in A\}).$$
Autrement dit, $\mu_1\star \mu_2$ est la mesure image de la mesure produit $\mu_1\star \mu_2$ par l'application somme.

  Le produit de convolution de deux mesures vérifie les propriétés suivantes :
  • Pour tout fonction mesurable $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $\int_{\mathbb R}f(x)d(\mu_1\star\mu_2)=\int_{\mathbb R^2}f(x+y)d\mu_1(x)d\mu_2(y)$ dès que l'une des deux expressions a un sens.
  • le produit de convolution est associatif, commutatif.
  • la masse de Dirac en 0 est l'élément neutre du produit de convolution.
  • Si $a,b\in\mathbb R$, alors $\delta_a\star \delta_b=\delta_{a+b}$.
  • Si $d\mu_1=f(x)dx$ et $d\mu_2=g(x)dx$ sont deux mesures à densité, alors $d(\mu_1\star \mu_2)=(f\star g)dx$. Autrement dit, le produit de convolution des mesures étend le produit de convolution des fonctions.
  Le produit de convolution de deux mesures est très utilisée en probabilité pour obtenir la loi de de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.
Théorème : Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives $P_X$ et $P_Y$, alors $X+Y$ a pour loi $P_{X+Y}=P_X\star P_Y$.
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