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Convergence en loi - convergence étroite

Convergence en loi
  La convergence en loi est une notion de convergence de variables aléatoires. C'est la plus faible des notions habituellement utilisées. Elle intervient naturellement dans le théorème limite central et modélise le fait que la répartition des valeurs prises par une suite de variables aléatoires converge vers la répartition des valeurs prises par une autre variable aléatoire.
Définition : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soit $X$ une variable aléatoire. On note $F_n$ la fonction de répartition de $X_n$ et $F$ celle de $X$. On dit que la suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si, en tout point $x$ où $F$ est continue, on a : $$F_n(x)\to F(x).$$
Convergence étroite
  La convergence en loi, comme son nom l'indique, peut aussi s'interpréter à l'aide des lois de $(X_n)$ et des lois de $X$. Pour cela, on a besoin d'une nouvelle notion de convergence de mesure.
Définition : Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures positives bornées sur $\mathbb R$ et soit $\mu$ une mesure positive bornée sur $\mathbb R$. On dit que $(\mu_n)$ converge étroitement vers $\mu$ si, pour tout fonction $f$ continue et bornée sur $\mathbb R$, on a $$\int_{\mathbb R}fd\mu_n\to \int_{\mathbb R}fd\mu.$$
  Il s'agit donc, au sens de l'analyse fonctionnelle, d'une notion de convergence faible de mesure. Lorsque les $\mu_n$ et $\mu$ sont toujours des probabilités, on peut restreindre l'ensemble des fonctions pour lesquelles on teste la convergence.
Proposition : Soit $(\mu_n)$ une suite de probabilités sur $\mathbb R$ et soit $\mu$ une probabilité sur $\mathbb R$. Alors $(\mu_n)$ converge étroitement vers $\mu$ si, pour tout fonction $f$ continue et tendant vers 0 en $\pm\infty$, on a $$\int_{\mathbb R}fd\mu_n\to \int_{\mathbb R}fd\mu.$$
Lien entre les deux notions
  Convergence en loi et convergence étroite sont reliés par le théorème fondamental suivant :
Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soit $X$ une variable aléatoire. On note $P_{X_n}$ (resp. $\phi_n$) la loi de $X_n$ (resp. la fonction caractéristique de $X_n$), et $P_{X}$ (resp. $\phi$) la loi de $X$ (resp. la fonction caractéristique de $X$). Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $(X_n)$ converge en loi vers $X$.
  • $(P_{X_n})$ convergence étroitement vers $P_X$.
  • $\phi_n$ converge simplement vers $\phi$.
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