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Continuité uniforme

Définition : Soit $I$ un intervalle, et $f:I\to\mathbb R$. On dit que f est uniformément continue sur $I$ si : $$\forall \veps>0,\ \exists \delta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.$$

On peut aussi formuler cette définition pour des fonctions partant d'un espace vectoriel normé (ou d'un espace métrique) à valeurs dans un espace vectoriel normé (resp. espace métrique), il suffit de remplacer partout les valeurs absolues par des normes (resp. des distances).

La continuité uniforme est une propriété plus forte que la continuité usuelle. Intuitivement, une fonction n'est pas uniformément continue si l'on peut prendre des points arbitrairement proches tels que leurs écarts ne soient pas arbitrairement proches. Ainsi, les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=\sin(e^x)$ ne sont pas uniformément continues sur $\mathbb R$ (voir le dessin). Observez pourtant que la deuxième fonction est bornée.

Il existe un théorème très important qui assure que dans certains cas, une fonction continue est uniformément continue.

Théorème de Heine : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors $f$ est uniformément continue. Plus généralement, une fonction $f:X\to Y$ où $X$ est un espace métrique compact et $Y$ est un espace métrique est uniformément continue.

La continuité uniforme, couplée au théorème de Heine, est un outil très puissant pour réaliser des approximations de fonctions : ainsi, c'est un argument essentiel dans le théorème de Weierstrass d'approximation des fonctions continues par des polynômes, ou dans le théorème de Fejér. Elle est aussi utile en théorie de l'intégration. Si f est une fonction continue sur $\mathbb R$, et si l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ est convergente, il n'est pas toujours vrai que $f$ tend vers $0$ à l'infini - il suffit de considérer une fonction avec des pics comme sur le dessin suivant. C'est en revanche vrai si on suppose que $f$ est uniformément continue.

La notion de continuité uniforme a été introduite par Heinrich Heine en 1872 dans un article dans lequel il publie la preuve du théorème appelé théorème de Heine pour une fonction continue sur un segment. En réalité, Dirichlet avait déjà introduit cette notion et démontré ce théorème en 1854, mais ce n'est qu'en 1904 qu'un de ses étudiants, Gustav Arendt, publie les notes du cours qu'il a suivi.

Source : Biographie des grands théorèmes, par B. Hauchecorne.

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