Continuité

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ qui contient $a$ et à valeurs dans $\mathbb R$ est dite continue en $a$ si elle admet une limite en $a$ : $$\forall\veps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\veps.$$ Sinon, on dit que $a$ est un point de discontinuité pour $f.$

Dire qu'une fonction $f$ est continue en $a$ signifie donc que lorsque $x$ se rapproche de $a$, alors $f(x)$ se rapproche de $f(a)$.

On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I.$ Géométriquement, cela signifie intuitivement qu'on peut tracer la courbe représentative de $f$ sans jamais lever le crayon.

La plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition (mais la fonction partie entière n'est pas continue en les entiers). Lorsqu'on réalise des produits, des sommes, des quotients, des composées de fonctions continues, on obtient, partout là où c'est défini, des fonctions continues. En particulier, une fonction dérivable est toujours continue. Mais attention, il faut prendre garde aux monstres! Il existe des fonctions continues sur $\mathbb R$, mais qui ne sont dérivables en aucun point!!!

On peut bien sûr définir donner des définitions plus générales pour les fonctions continues (fonctions de plusieurs variables notamment). Dans le cadre des espaces métriques, la définition a la forme suivante.

Soient $X,Y$ deux espaces métriques, $f$ une application de $X$ dans $Y$ et $a$ un point de $X$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ d(x,a)<\delta\implies d(f(x),f(a))<\veps.$$ $f$ est continue sur $X$ si elle est continue en chaque point de $X$.

Si $X$ et $Y$ sont des espaces topologiques, $f:X\to Y$ et $a\in X$, on dit que $f$ est continue en $a$ si, pour tout ouvert $U$ contenant $f(a)$, il existe un ouvert $V$ contenant $a$ tel que $f(V)\subset U.$