$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

La connexité

Connexe

Observons les deux ensembles $A$ (en vert) et $B$ (en violet) ci-dessous. Ils ont une nature très différente : $A$ est en un seul morceau, quand $B$ ne l'est pas.

Il y a une définition mathématique précise associée au fait d'être en un seul morceau :

Définition : Un espace topologique $A$ est dit connexe s'il vérifie une des conditions équivalentes suivante :
  • $A$ ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux ouverts non vides;
  • $A$ ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux fermés non vides;
  • les seules parties à la fois ouvertes et fermées de $A$ sont l'ensemble vide et $A$ lui-même;
  • toute application continue $f:A\to\{0,1\}$ est constante.

Par exemple, les connexes de $\mathbb R$ sont les intervalles.

Théorème : L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe.

Autrement dit, si vous avez un ensemble d'un seul bloc, son image par une fonction continue est d'un seul bloc. Un cas particulier de ce théorème est le théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. On appelle aussi le théorème précédent le théorème du passage à la douane. Si $f:A\to\mathbb R$ est continue, si $A$ est connexe, et s'il existe des éléments $a$ et $b$ de $A$ avec $f(a)<0$ et $f(b)>0$, alors il existe $c\in A$ avec $f(c)=0$. Pour passer de la France à l'Espagne, il faut passer par la douane! (enfin, plus maintenant, mais bon...). Plus généralement, le théorème du passage à la douane peut s'énoncer sous la forme suivante :

Théorème : Dans un espace topologique, toute partie connexe qui rencontre à la fois une partie $A$ et son complémentaire rencontre nécessairement la frontière de $A.$

On a les propriétés suivantes concernant les parties connexes :

Théorème : Soit $E$ un espace topologique.
  • Si $A$ est une partie connexe de $E$ et si $A\subset B\subset \bar A,$ alors $B$ est connexe.
  • Un produit d'espaces topologiques est connexe si et seulement si chaque facteur l'est.
  • Soit $(C_i)_{i\in I}$ une famille de connexes de $E$ telle qu'il existe $i_0 \in I$ vérifiant pour tout $i \in I,$ $C_i \cap C_{i_0}\neq\varnothing.$ Alors $\bigcup_{i\in I}C_i$ est connexe.
  • Si $(C_i)_{i\in \mathbb N}$ est une suite de parties connexes de $E$ telle que $C_i\cap C_{i+1}\neq\varnothing$ pour tout $i\in\mathbb N,$ alors $\bigcup_{i\in I}C_i$ est connexe.

Si $B$ n'est pas connexe, la plus grande partie connexe de $B$ contenant un point $x$ s'appelle la composante connexe de $x.$ La composante connexe de $x$ est aussi égale à la réunion de toutes les parties connexes de $B$ contenant $x.$

Les composantes connexes de $B$ forment une partition de $B.$ On a alors :

  • $B$ est connexe si et seulement s'il n'a qu'une seule composante connexe.
  • Les composantes connexes de $B$ sont des fermés de $B.$
  • Si les composantes connexes de $B$ sont en nombre fini, elles sont ouvertes comme complémentaires d'une réunion finie de fermés de $B.$

Dans l'exemple suivant, l'ensemble $B$ est réunion de 4 composantes connexes. La composante connexe de $x$ est hachurée en orange.

Si les composantes connexes sont réduites à un point, $B$ est dit totalement discontinu.

Chemins et connexité par arcs

Il existe des ensembles qui sont un petit peu plus que connexes.

Définition :
  • Soit $E$ un espace topologique, et $a,b$ des éléments de $E$. On appelle chemin (continu) dans $E$ d'extrémités $a$ et $b$ toute application continue $f:[0,1]\to E$ avec $f(0)=a$ et $f(1)=b$.
  • $E$ est dit connexe par arcs si, pour tous points $a,b$ de $E$, il existe un chemin continu qui relie $a$ et $b$.

Par exemple, dans un espace vectoriel normé, une partie convexe ou étoilée est connexe par arcs. Un connexe par arcs est connexe. La réciproque est vraie si l'ensemble est un ouvert d'un espace vectoriel normé, elle est fausse en général : $$E=\{(x,y)\in\mathbb R^2: y=\sin(1/x)\textrm{ si }x>0\textrm{ et }y\in[0,1]\textrm{ si }x=0\}$$ est connexe, mais pas connexe par arcs. Un tel exemple ne peut pas exister dans $\mathbb R\ :$ les parties connexes de $\mathbb R$ et les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont identiques. Ce sont les intervalles.

Les connexes par arcs partagent de nombreuses propriétés des connexes. Par exemple, on démontre que l'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs, le produit d'espaces connexes par arcs est connexe par arcs.

Trous et simple connexité

Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de cette pomme. En faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme. Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban enfilé autour de l'anneau. Cette fois, il est impossible, sans couper le ruban ou l'anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point. En langage mathématique, on dit que la pomme est une surface simplement connexe, alors que l'anneau ne l'est pas.

Dans le plan, la simple connexité détecte les ensembles qui ont un "trou" :

Définition :
  • Soit $A$ une partie du plan $\mathbb R^2$. On appelle trou de $A$ toute composante connexe bornée de $\mathbb R^2\backslash A$.
  • Un ouvert $A$ de $\mathbb R^2$ est simplement connexe s'il est connexe et sans trou.

Dans l'exemple suivant, l'ensemble possède trois trous et n'est donc pas simplement connexe.

On peut aussi caractériser le fait d'être simplement connexe en utilisant la notion d'homotopie de lacet :

Théorème : Un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$ est simplement connexe s'il est connexe et si tout lacet tracé dans $\mathcal U$ est homotope à un lacet constant.

Autrement dit, on peut déformer tout lacet tracé dans $\mathcal U$ de sorte à le ramener en un point.

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