$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

La connexité

Connexe
  Observons les deux ensembles A (en vert) et B (en bleu) ci-dessous. Ils ont une nature très différente : A est en un seul morceau, quand B ne l'est pas.
Il y a une définition mathématique précise associée au fait d'être en un seul morceau :

Définition : Un espace (topologique) A est dit connexe s'il ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux ouverts non vides (de façon équivalente, si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de A sont l'ensemble vide et A lui-même).
Par exemple, les connexes de R sont les intervalles.

Théorème : L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe.
  Autrement dit, si vous avez un ensemble d'un seul bloc, son image par une fonction continue est d'un seul bloc. Un cas particulier de ce théorème est le théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. On appelle aussi le théorème précédent le théorème du passage des douanes. Si f:A->R est continue, si A est connexe, et s'il existe des éléments a et b de A avec f(a)<0 et f(b)>0, alors il existe c dans A avec f(c)=0. Pour passer de la France à l'Espagne, il faut passer par la douane! (enfin, plus maintenant, mais bon...)

  Si B n'est pas connexe, la plus grande partie connexe de B contenant un point x s'appelle la composante connexe de x. L'ensemble B s'écrit alors comme réunion disjointes de ses composantes connexes. Si les composantes connexes sont réduites à un point, B est dit totalement discontinu.
Chemins et connexité par arcs
  Il existe des ensembles qui sont un petit peu plus que connexes.

Définition :
  • Soit E un espace topologique, et a,b des élements de E. On appelle chemin (continu) dans E d'extrémités a et b toute application continue f:[0,1]->E avec f(0)=a et f(1)=b.
  • E est dit connexe par arcs si, pour tous points a,b de E, il existe un chemin continu qui relie a et b.
Un connexe par arcs est connexe. La réciproque est vraie si l'ensemble est un ouvert d'un espace vectoriel normé, elle est fausse en général :
E={(x,y) de R2; y=sin(1/x) si x>0 et y[0,1] si x=0}
est connexe, mais pas connexe par arcs.
Trous et simple connexité
  Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de cette pomme. En faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme. Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban enfilé autour de l'anneau. Cette fois, il est impossible, sans couper le ruban ou l'anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point. En langage mathématique, on dit que la pomme est une surface simplement connexe, alors que l'anneau ne l'est pas.

  Dans le plan, la simple connexité détecte les ensembles qui ont un "trou" :

Définition :
  • Soit A une partie du plan R2. On appelle trou de A toute composante connexe bornée de R2-A.
  • Un ouvert A de R2 est simplement connexe s'il est connexe et sans trou.
  On peut aussi caractériser le fait d'être simplement connexe en utilisant la notion d'homotopie de lacet :
Théorème : Un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$ est simplement connexe s'il est connexe et si tout lacet tracé dans $\mathcal U$ est homotope à un lacet constant.
Autrement, on peut déformer tout lacet tracé dans $\mathcal U$ de sorte à le ramener en un point.
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