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Dictionnaire de mathématiques > Dénombrements et probabilités > Probabilités > Variables aléatoires >

Loi conjointe, loi marginale

  Un vecteur aléatoire $(X,Y)$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^2$. Si on cherche à définir la loi d'un tel vecteur, il faut considérer tous les couples $I\times J$ d'intervalles :
Définition : Soit $(X,Y)$ un vecteur aléatoire réel. On appelle loi conjointe de $(X,Y)$ la probabilité définie sur $\mathbb R^2$ par :
Les lois de probabilité de $X$ et $Y$ sont alors appelés lois marginales de $(X,Y)$.
En particulier, lorsque $X$ et $Y$ sont à valeurs finies, la loi conjointe de $(X,Y)$ est l'ensemble des $P\big ( (X=x_i)\cap (Y=y_j)\big).$

Ex : On tire deux nombres au hasard dans {-1,1}. On note X leur somme, et Y leur produit. On cherche à déterminer la loi conjointe de (X,Y). Remarquons que l'univers est {-1;1}2, que X prend ses valeurs dans {-2,0,2} et Y dans {-1,1}. Les variables aléatoires étant discrètes, il suffit de déterminer toutes les probabilités P(X=x et Y=y) pour tout couple (x;y). On a :
P(X=2, Y=1)=1/4 (correspond au cas on on tire 1 et 1).
P(X=2, Y=-1)=0.
P(X=0, Y=1)=0.
P(X=0, Y=-1)=1/2.
P(X=-2, Y=1)=1/4.
P(X=-2, Y=-1)=0.
On a coutume de représenter la loi conjointe (X,Y) à l'aide d'un tableau :
Il est toujours possible, à l'aide de la loi conjointe, de retrouver les lois marginales : si et , on a :
$$P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^p P(X=x_i,\ Y=y_j).$$ Sur le tableau, cela correspond aux sommations par ligne ou par colonne.

Il n'est en général pas possible de réaliser la démarche inverse, c'est-à-dire, étant données les deux lois marginales, retrouver la loi conjointe. Il faut en effet avoir des informations supplémentaires sur la façon dont les variables aléatoires X et Y dépendents l'une de l'autre. En particulier, si X et Y sont indépendantes, on a :
Cela n'est plus vrai en général :