Loi conjointe, loi marginale
Un vecteur aléatoire $(X,Y)$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^2$. Si on cherche à définir la loi d'un tel vecteur, il faut considérer tous les couples $I\times J$ d'intervalles :
Soit $(X,Y)$ un vecteur aléatoire réel. On appelle loi conjointe de $(X,Y)$ la probabilité définie sur $\mathbb R^2$ par : $$P_{(X,Y)}(I\times J)=P(X\in I\textrm{ et }Y\in J).$$ Les lois de probabilité de $X$ et $Y$ sont alors appelés lois marginales de $(X,Y)$.
En particulier, lorsque $X$ et $Y$ sont à valeurs finies, la loi conjointe de $(X,Y)$ est l'ensemble des $P\big ( (X=x_i)\cap (Y=y_j)\big).$
Exemple : On tire deux nombres au hasard dans $\{-1,1\}.$ On note $X$ leur somme, et $Y$ leur produit. On cherche à déterminer la loi conjointe de $(X,Y).$ Remarquons que l'univers est $\{-1;1\}^2,$ que $X$ prend ses valeurs dans $\{-2,0,2\}$ et $Y$ dans $\{-1,1\}.$ Les variables aléatoires étant discrètes, il suffit de déterminer toutes les probabilités $P(X=x\textrm{ et }Y=y)$ pour tout couple $(x,y).$ On a :
- $P(X=2, Y=1)=1/4$ (correspond au cas on on tire $1$ et $1$).
- $P(X=2, Y=-1)=0.$
- $P(X=0, Y=1)=0.$
- $P(X=0, Y=-1)=1/2.$
- $P(X=-2, Y=1)=1/4.$
- $P(X=-2, Y=-1)=0.$
On a coutume de représenter la loi conjointe (X,Y) à l'aide d'un tableau :
Il est toujours possible, à l'aide de la loi conjointe, de retrouver les lois marginales : si $X(\Omega)=\{x_1,\dots,x_p\}$ et $Y(\Omega)=\{y_1,\dots,y_q\},$ on a : $$P(X=x_i)=\sum_{j=1}^q P(X=x_i,\ Y=y_j).$$ $$P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^p P(X=x_i,\ Y=y_j).$$ Sur le tableau, cela correspond aux sommations par ligne ou par colonne.
Il n'est en général pas possible de réaliser la démarche inverse, c'est-à-dire, étant données les deux lois marginales, retrouver la loi conjointe. Il faut en effet avoir des informations supplémentaires sur la façon dont les variables aléatoires $X$ et $Y$ dépendent l'une de l'autre. En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j).$$ Cela n'est plus vrai en général, où on peut seulement dire : $$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j|X=x_i).$$