$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi conjointe, loi marginale

Un vecteur aléatoire $(X,Y)$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^2$. Si on cherche à définir la loi d'un tel vecteur, il faut considérer tous les couples $I\times J$ d'intervalles :

Soit $(X,Y)$ un vecteur aléatoire réel. On appelle loi conjointe de $(X,Y)$ la probabilité définie sur $\mathbb R^2$ par : $$P_{(X,Y)}(I\times J)=P(X\in I\textrm{ et }Y\in J).$$ Les lois de probabilité de $X$ et $Y$ sont alors appelés lois marginales de $(X,Y)$.

En particulier, lorsque $X$ et $Y$ sont à valeurs finies, la loi conjointe de $(X,Y)$ est l'ensemble des $P\big ( (X=x_i)\cap (Y=y_j)\big).$

Exemple : On tire deux nombres au hasard dans $\{-1,1\}.$ On note $X$ leur somme, et $Y$ leur produit. On cherche à déterminer la loi conjointe de $(X,Y).$ Remarquons que l'univers est $\{-1;1\}^2,$ que $X$ prend ses valeurs dans $\{-2,0,2\}$ et $Y$ dans $\{-1,1\}.$ Les variables aléatoires étant discrètes, il suffit de déterminer toutes les probabilités $P(X=x\textrm{ et }Y=y)$ pour tout couple $(x,y).$ On a :

  • $P(X=2, Y=1)=1/4$ (correspond au cas on on tire $1$ et $1$).
  • $P(X=2, Y=-1)=0.$
  • $P(X=0, Y=1)=0.$
  • $P(X=0, Y=-1)=1/2.$
  • $P(X=-2, Y=1)=1/4.$
  • $P(X=-2, Y=-1)=0.$

On a coutume de représenter la loi conjointe (X,Y) à l'aide d'un tableau :

Il est toujours possible, à l'aide de la loi conjointe, de retrouver les lois marginales : si $X(\Omega)=\{x_1,\dots,x_p\}$ et $Y(\Omega)=\{y_1,\dots,y_q\},$ on a : $$P(X=x_i)=\sum_{j=1}^q P(X=x_i,\ Y=y_j).$$ $$P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^p P(X=x_i,\ Y=y_j).$$ Sur le tableau, cela correspond aux sommations par ligne ou par colonne.

Il n'est en général pas possible de réaliser la démarche inverse, c'est-à-dire, étant données les deux lois marginales, retrouver la loi conjointe. Il faut en effet avoir des informations supplémentaires sur la façon dont les variables aléatoires $X$ et $Y$ dépendent l'une de l'autre. En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j).$$ Cela n'est plus vrai en général, où on peut seulement dire : $$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j|X=x_i).$$

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