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Coniques

Conique à la grecque
  Pour les mathématiciens grecs, une conique est l'intersection d'un cône de révolution avec un plan. Suivant l'angle formé par le plan et les génératrices du cône, on trouve les 3 variétés de conique : ellipse, hyperbole et parabole.

Ellipses, hyperboles et paraboles sont les 3 types de coniques propres. Pour certaines configurations particulières, il est possible que l'intersection du plan et du cône soit l'ensemble vide, un point, une droite ou deux droites. Ces ensembles constituent des coniques dégénérées.
Définition géométrique moderne
  Soit un point F et une droite D (ne passant pas par F) du plan euclidien, et soit e un réel strictement positif. On appelle conique de directrice D, de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan vérifiant :
Suivant les diverses valeurs de e, on trouve les 3 types de conique :
  • e<1 : ellipse,
  • e=1 : parabole,
  • e>1 hyperbole.
La figure ci-dessous permet de mesurer l'influence de l'excentricité e quand le foyer F et la directrice D sont fixés.

La droite perpendiculaire à la directrice D et passant par le foyer F s'appelle axe focal de la conique. Le ou les points d'intersection de la conique et de son axe focal sont appelés les sommets de la conique.

  Remarquons qu'ellipses et hyperboles possèdent un centre de symétrie. Voilà pourquoi on les appelle coniques à centre. Ces coniques possèdent alors une autre définition géométrique, dite définition bifocale. Voir les articles ellipse et hyperbole du dictionnaire.

Définition par des équations
  On appelle conique du plan euclidien toute courbe tel qu'il existe un repère orthonormé du plan dans lequel l'équation de la conique est de la forme :
ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
On vérifie alors aisément que dans tout repère orthonormé du plan, la conique admet une équation de cette forme. On cherche souvent un repère où l'équation de la conique est la plus simple possible (on parle d'équation réduite). D'abord, en effectuant une rotation du repère, il est possible de trouver une équation sans terme en xy, ie une équation de la forme :
Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
Ensuite, en effectuant un changement d'origine, on arrive à 3 types d'équation principales :

  1. Il s'agit de l'équation cartésienne réduite d'une ellipse.

  2. Il s'agit de l'équation cartésienne réduite d'une hyperbole.

  3. Il s'agit de l'équation cartésienne réduite d'une parabole.

  Il est enfin souvent utile d'écrire une équation polaire d'une conique. Pour cela, on se place dans un repère orthonormé dont le centre est au foyer F. Soit H le projeté orthogonal de F sur D, on note h la longueur HF. D'autre part, on note l'angle de la droite FH avec l'axe des abscisses :
Dans ces conditions, l'équation polaire de la conique de foyer F, d'excentricité e et de directrice D est :
Le réel eh est souvent noté p : c'est le paramètre de la conique (c'est le même réel qui intervient dans l'équation réduite d'une parabole).

Le traité le plus important des mathématiciens grecs sur les coniques est l'oeuvre d'Appolonius de Perge, mathématicien alexandrin qui vivait au IIè siècle avant Jésus-Christ, qui écrivit 8 volumes sur le sujet.
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