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Conditions nécessaires et suffisantes

  Les notions de condition nécessaire et suffisante piègent souvent les étudiants. Rappelons ici leur signification. On considère P et Q deux propositions (par exemple : "x est un nombre pair", "ABCD est un parallélogramme", "AB=BC",...). On dit que :
  • Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie.
  • Q est une condition suffisante pour avoir P s'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie.
Exemple : On considère la proposition "ABCD est un losange".
  1. "ABCD est un parallélogramme" est une condition nécessaire pour que ABCD soit un losange : si ABCD est un losange, nécessairement ABCD est un parallélogramme. Le contraire (la réciproque) est faux : il existe des parallélogrammes qui ne sont pas des losanges. La condition n'est pas suffisante.
  2. "ABCD est un carré" est une condition suffisante pour que ABCD soit un losange. Dès que l'on sait que ABCD est un carré, on sait que ABCD est un losange, le contraire étant bien évidemment faux.
  Lorsqu'une condition est à la fois nécessaire et suffisante, on dit que c'est une condition nécessaire et suffisante, et on est autorisé à employer la formule magique : "si et seulement si". Par exemple, la condition "Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, et sont perpendiculaires" est une condition nécessaire et suffisante pour que ABCD soit un losange. Pour que ABCD soit un losange, il faut, et il suffit, que ses diagonales se coupent en leur milieu et soit perpendiculaires. En d'autres termes, un quadrilatère est un losange si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.