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Conditionnement d'une matrice

es modèles linéaires de la physique, de l'astronomie,..., conduisent souvent à la résolution de grands systèmes linéaires qu'on représente matriciellement par une équation du type AX=Y. Il arrive parfois qu'une petite variation sur Y entraîne une grande variation sur X. On dit dans ce cas que la matrice, ou le problème, est mal conditionnée.

Exemple : On souhaite résoudre le système linéaire $AX=Y$, où $A$ est la matrice

Si $Y$ est le vecteur
alors on trouve
Mais si $Y$ est le vecteur
alors on trouve
Autrement dit, de très petites variations sur $Y$ ont conduit à de grandes variations sur $X$.

De façon précise, si A est une matrice, son conditionnement est $K(A)=\|A\|\times \|A^{-1}\|$. Dans l'exemple précédent, on trouve $K(A)=4488$, où la norme choisie est la norme matricielle associée à la norme infinie sur $\mathbb R^4$.

Ce phénomène de mauvais conditionnement explique pour partie la difficulté de prévoir certains phénomènes. Les appareils de mesure ne sont jamais parfaits, et il est impossible de connaitre exactement $Y$. Cela peut entrainer une très grande imprécision sur la valeur de $X$.