$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi conditionnelle - Espérance conditionnelle - Densité conditionnelle

Cas des variables aléatoires discrètes finies
  Soit $\Omega$ un univers fini et soient $X:\Omega\to E$ et $Y:\Omega\to F$ deux variables aléatoires.
Définition : Si $A$ est un événement de probabilité non-nulle, on appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $A$ la probabilité $P_X(\cdot|A)$ définie sur $E$ par $P_X(\{x\}|A)=P(X=x|A)$. En particulier, si $P(Y=y)\neq 0$, on appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=y)$ la probabilité sur $E$ définie par $$P_X\big(\{x\}|(Y=y)\big)=\frac{P\big ( (X=x)\cap(Y=y)\big)}{P(Y=y)}.$$
Définition : Si $A$ est un événement de probabilité non-nulle, on appelle espérance conditionnelle de $X$ sachant $A$ l'espérance de $X$ dans la situation où $A$ est réalisé, c'est-à-dire $$E(X|A)=\sum_{x\in E}x P(X=x|A).$$
Cas général
  Il est aussi possible de définir la notion de loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ dans le cas de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes, mais c'est nettement plus compliqué. Signalons simplement l'existence de la notion de densité conditionnelle. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires telles que leur couple $(X,Y)$ admette une densité bivariable $f(x,y)$, et si de plus $y_0$ est tel que $\int f(x,y_0)dx\neq 0$, alors on appelle densité conditionnelle de $X$ sachant $Y=y_0$ la fonction $$g(x|y_0)=\frac{f(x,y_0)}{\int f(t,y_0)dt}.$$ C'est une densité de probabilité.