Loi conditionnelle - Densité conditionnelle
Cas des variables aléatoires discrètes finies
Soit $\Omega$ un univers fini et soient $X:\Omega\to E$ et $Y:\Omega\to F$ deux variables aléatoires.
Définition : Si $A$ est un événement de probabilité non-nulle, on appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $A$ la probabilité $P_X(\cdot|A)$ définie sur
$E$ par $P_X(\{x\}|A)=P(X=x|A)$. En particulier, si $P(Y=y)\neq 0$, on appelle loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=y)$ la probabilité sur $E$ définie
par
$$P_X\big(\{x\}|(Y=y)\big)=\frac{P\big ( (X=x)\cap(Y=y)\big)}{P(Y=y)}.$$
Définition : Si $A$ est un événement de probabilité non-nulle, on appelle espérance conditionnelle
de $X$ sachant $A$ l'espérance de $X$ dans la situation où $A$ est réalisé, c'est-à-dire
$$E(X|A)=\sum_{x\in E}x P(X=x|A).$$
Cas général
Il est aussi possible de définir la notion de loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ dans le cas de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes, mais c'est nettement plus compliqué. Signalons simplement l'existence de la notion de densité conditionnelle. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires telles que leur couple $(X,Y)$ admette une densité bivariable $f(x,y)$, et si de plus $y_0$ est tel que $\int f(x,y_0)dx\neq 0$, alors on appelle densité conditionnelle de $X$ sachant $Y=y_0$ la fonction $$g(x|y_0)=\frac{f(x,y_0)}{\int f(t,y_0)dt}.$$ C'est une densité de probabilité.
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