Conchoïde

Une conchoïde est une courbe plane fabriquée à partir d'une autre courbe $\mathcal C,$ d'un point fixe $O$ et d'une distance $a>0$ : à partir d'un point $M$ de la courbe, on trace la droite $(OM)$ et on considère les points $P$ et $Q$ de la droite $OM$ tels que $MP=MQ=a$. La conchoïde de $\mathcal C,$ de pôle $O$ et de module $a$ est l'ensemble des points $P$ et $Q$ lorsque $M$ parcourt $\mathcal C.$ Si le plan est rapporté à un repère orthonormé direct de centre $O$, et si dans ce repère la courbe $\mathcal C$ a pour équation polaire $r=f(\theta)$, alors la conchoïde de $\mathcal C$ de pôle $O$ et de module $a$ est la réunion des courbes d'équations polaires $r=f(\theta)+a$ et $r=f(\theta)-a.$

Dans l'animation Geogebra suivante, vous pouvez déplacer le point $M$ pour voir se tracer point par point la conchoïde d'un cercle.

On va dans la suite se concentrer sur deux cas particuliers importants : la courbe $\mathcal C$ est une droite ou est un cercle.

Soit $D$ une droite, et un point $O$ n'appartenant pas à $D.$ Soit $d$ la distance de $O$ à la droite $D$. On distingue 3 types de conchoïde suivant que $d>a,$ $d=a$ ou $d<a$.

Dans un repère bien choisi, D a pour équation polaire $r= d/\cos(\theta).$ Une conchoïde de droite est donc la réunion des deux courbes $r=\frac{d}{\cos(\theta)}\pm a.$

Les conchoïdes de droite ont été étudiées pour la première fois par le mathématicien grec Nicomède, au IIIème siècle avant J-C. Il s'en servait pour réaliser la trisection d'un angle ou la duplication d'un cube. Ce sont aussi les premières courbes, après le cercle, à avoir été construites par un procédé mécanique.

Soit $O$ un point d'un cercle $\mathcal C$ de rayon $R$. On distingue 4 types de conchoïde de $\mathcal C$ de pôle $0$ et de module $a$, suivant la position de $a$ par rapport à $2R$ et à $4R.$ En particulier, lorsque $a=2R,$ on retrouve la cardioïde.

Si choisit le repère de sorte que le centre du cercle ait pour coordonées $(R,0)$ et le point $O$ soit l'origine du repère, une conchoïde de ce cercle est la réunion des supports des courbes d'équations polaires $r=2R\cos(\theta)\pm a.$

Référence : Précis de Géométrie, D.Guinin, F.Aubonnet, B.Joppin (Bréal)

Le mot conchoïde vient du latin concha, coquille.